初中数学旋转的性质解答题

数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=m$ ， $\mathit{BC}=n$ ， $\angle \mathit{BAC}=\alpha (0°<\alpha <180°)$ ，点 $P$ 为平面内不与点 $A$ 、 $C$ 重合的任意一点，连接 $\mathit{CP}$ ，将线段 $\mathit{CP}$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $a$ ，得线段 $\mathit{PD}$ ，连接 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{AP}$ 点 $E$ 、 $F$ 分别为 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 的中点，设直线 $\mathit{AP}$ 与直线 $\mathit{EF}$ 相交所成的较小角为 $\beta$ ，探究 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{AP}}$ 的值和 $\beta$ 的度数与 $m$ 、 $n$ 、 $a$ 的关系．

请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）填空：

【问题发现】

小明研究了 $\alpha =60°$ 时，如图1，求出了 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数分别为 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}=$ 　　， $\beta =$ 　　；

小红研究了 $\alpha =90°$ 时，如图2，求出了 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数分别为 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}=$ 　　， $\beta =$ 　　；

【类比探究】

他们又共同研究了 $\alpha =120°$ 时，如图3，也求出了 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律： $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}=$ 　　（用含 $m$ 、 $n$ 的式子表示）； $\beta =$ 　　（用含 $\alpha$ 的式子表示）．

（2）求出 $\alpha =120°$ 时 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=3$ ，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到△ $A\text{'}\mathit{BC}\text{'}$ ，其中点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A\text{'}$ ， $C\text{'}$ ．

（1）如图1，当点 $A\text{'}$ 落在 $\mathit{AC}$ 的延长线上时，求 $\mathit{AA}\text{'}$ 的长；

（2）如图2，当点 $C\text{'}$ 落在 $\mathit{AB}$ 的延长线上时，连接 $\mathit{CC}\text{'}$ ，交 $A\text{'}B$ 于点 $M$ ，求 $\mathit{BM}$ 的长；

（3）如图3，连接 $\mathit{AA}\text{'}$ ， $\mathit{CC}\text{'}$ ，直线 $\mathit{CC}\text{'}$ 交 $\mathit{AA}\text{'}$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点，连接 $\mathit{DE}$ ．在旋转过程中， $\mathit{DE}$ 是否存在最小值？若存在，求出 $\mathit{DE}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=\alpha$， $M$为 $\mathit{BC}$的中点，点 $D$在 $\mathit{MC}$上，以点 $A$为中心，将线段 $\mathit{AD}$顺时针旋转 $\alpha$得到线段 $\mathit{AE}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DE}$．

（1）比较 $\angle \mathit{BAE}$与 $\angle \mathit{CAD}$的大小；用等式表示线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{BM}$， $\mathit{MD}$之间的数量关系，并证明；

（2）过点 $M$作 $\mathit{AB}$的垂线，交 $\mathit{DE}$于点 $N$，用等式表示线段 $\mathit{NE}$与 $\mathit{ND}$的数量关系，并证明．

发现规律

（1）如图①， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta ADE}$都是等边三角形，直线 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$交于点 $F$．直线 $\mathit{BD}$， $\mathit{AC}$交于点 $H$．求 $\angle \mathit{BFC}$的度数．

（2）已知： $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta ADE}$的位置如图②所示，直线 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$交于点 $F$．直线 $\mathit{BD}$， $\mathit{AC}$交于点 $H$．若 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADE}=\alpha$， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=\beta$，求 $\angle \mathit{BFC}$的度数．

应用结论

（3）如图③，在平面直角坐标系中，点 $O$的坐标为 $(0,0)$，点 $M$的坐标为 $(3,0)$， $N$为 $y$轴上一动点，连接 $\mathit{MN}$．将线段 $\mathit{MN}$绕点 $M$逆时针旋转 $60°$得到线段 $\mathit{MK}$，连接 $\mathit{NK}$， $\mathit{OK}$．求线段 $\mathit{OK}$长度的最小值．

已知等边三角形 $\mathit{ABC}$，过 $A$点作 $\mathit{AC}$的垂线 $l$，点 $P$为 $l$上一动点（不与点 $A$重合），连接 $\mathit{CP}$，把线段 $\mathit{CP}$绕点 $C$逆时针方向旋转 $60°$得到 $\mathit{CQ}$，连 $\mathit{QB}$．

（1）如图1，直接写出线段 $\mathit{AP}$与 $\mathit{BQ}$的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$、 $B$在 $\mathit{AC}$同侧且 $\mathit{AP}=\mathit{AC}$时，求证：直线 $\mathit{PB}$垂直平分线段 $\mathit{CQ}$；

（3）如图3，若等边三角形 $\mathit{ABC}$的边长为4，点 $P$、 $B$分别位于直线 $\mathit{AC}$异侧，且 $\mathit{\Delta APQ}$的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，求线段 $\mathit{AP}$的长度．

如图1，矩形 $\mathit{DEFG}$中， $\mathit{DG}=2$， $\mathit{DE}=3$， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CA}=\mathit{CB}=2$， $\mathit{FG}$， $\mathit{BC}$的延长线相交于点 $O$，且 $\mathit{FG}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{OG}=2$， $\mathit{OC}=4$．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $O$逆时针旋转 $\alpha (0°⩽\alpha <180°)$得到△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$．

（1）当 $\alpha =30°$时，求点 $C\text{'}$到直线 $\mathit{OF}$的距离．

（2）在图1中，取 $A\text{'}B\text{'}$的中点 $P$，连结 $C\text{'}P$，如图2．

①当 $C\text{'}P$与矩形 $\mathit{DEFG}$的一条边平行时，求点 $C\text{'}$到直线 $\mathit{DE}$的距离．

②当线段 $A\text{'}P$与矩形 $\mathit{DEFG}$的边有且只有一个交点时，求该交点到直线 $\mathit{DG}$的距离的取值范围．

在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=\alpha$ ， $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADC}$ ，交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，交射线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，将线段 $\mathit{EB}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $\frac{1}{2}\alpha$ 得线段 $\mathit{EP}$ ．

（1）如图1，当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，请直接写出线段 $\mathit{AP}$ 和线段 $\mathit{AC}$ 的数量关系；

（2）如图2，当 $\alpha =90°$ 时，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{EP}$ 于点，连接 $\mathit{AF}$ ，请写出线段 $\mathit{AF}$ ， $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，若 $\mathit{BE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$ ，请直接写出 $\mathit{\Delta APE}$ 与 $\mathit{\Delta CDG}$ 面积的比值．

我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=3$， $\angle \mathit{ACB}=30°$，试判断 $\mathit{\Delta ABC}$是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2， $\mathit{\Delta ABC}$是“等高底”三角形， $\mathit{BC}$是”等底”，作 $\mathit{\Delta ABC}$关于 $\mathit{BC}$所在直线的对称图形得到△ $A^{\text{'}}\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AA}\text{'}$交直线 $\mathit{BC}$于点 $D$．若点 $B$是△ $\mathit{AA}\text{'}C$的重心，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知 $l_1//l_2$， $l_1$与 $l_2$之间的距离为2．“等高底” $\mathit{\Delta ABC}$的“等底” $\mathit{BC}$在直线 $l_1$上，点 $A$在直线 $l_2$上，有一边的长是 $\mathit{BC}$的 $\sqrt{2}$倍．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$按顺时针方向旋转 $45°$得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$， $A\text{'}C$所在直线交 $l_2$于点 $D$．求 $\mathit{CD}$的值．

如图1，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $\angle A=120°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段 $\mathit{NM}$ 、 $\mathit{NP}$ 的数量关系是 　 　， $\angle \mathit{MNP}$ 的大小为 　　．

（2）探究证明

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $\mathit{MP}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{CE}$ ，判断 $\mathit{\Delta MNP}$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $\mathit{AD}=1$ ， $\mathit{AB}=3$ ，请求出 $\mathit{\Delta MNP}$ 面积的最大值．

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），连结 $\mathit{AD}$ ．

（1）如图1，若 $\angle C=60°$ ，点 $D$ 关于直线 $\mathit{AB}$ 的对称点为点 $E$ ，连结 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{DE}$ ，则 $\angle \mathit{BDE}=$ 　　；

（2）若 $\angle C=60°$ ，将线段 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60°$ 得到线段 $\mathit{AE}$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．

①在图2中补全图形；

②探究 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BE}$ 的数量关系，并证明；

（3）如图3，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{DE}}=k$ ，且 $\angle \mathit{ADE}=\angle C$ ．试探究 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{AC}$ 之间满足的数量关系，并证明．

如图，在平面直角坐标系中， $O$为坐标原点，点 $A$的坐标为 $(5,0)$，菱形 $\mathit{OABC}$的顶点 $B$， $C$都在第一象限， $\tan \angle \mathit{AOC}=\frac{4}{3}$，将菱形绕点 $A$按顺时针方向旋转角 $\alpha (0°<\angle \alpha <\angle \mathit{AOC})$得到菱形 $\mathit{FADE}$（点 $O$的对应点为点 $F)$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{OC}$交于点 $G$，连接 $\mathit{AG}$．

（1）求点 $B$的坐标．

（2）当 $\mathit{OG}=4$时，求 $\mathit{AG}$的长．

（3）求证： $\mathit{GA}$平分 $\angle \mathit{OGE}$．

（4）连接 $\mathit{BD}$并延长交 $x$轴于点 $P$，当点 $P$的坐标为 $(12,0)$时，求点 $G$的坐标．

如图， $\mathit{\Delta OAB}$是边长为 $2+\sqrt{3}$的等边三角形，其中 $O$是坐标原点，顶点 $B$在 $y$轴正方向上，将 $\mathit{\Delta OAB}$折叠，使点 $A$落在边 $\mathit{OB}$上，记为 $A\text{'}$，折痕为 $\mathit{EF}$．

（1）当 $A\text{'}E//x$轴时，求点 $A\text{'}$和 $E$的坐标；

（2）当 $A\text{'}E//x$轴，且抛物线 $y=-\frac{1}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A\text{'}$和 $E$时，求抛物线与 $x$轴的交点的坐标；

（3）当点 $A\text{'}$在 $\mathit{OB}$上运动，但不与点 $O$、 $B$重合时，能否使△ $A\text{'}\mathit{EF}$成为直角三角形？若能，请求出此时点 $A\text{'}$的坐标；若不能，请你说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边上一动点，连接 $\mathit{AD}$，把 $\mathit{AD}$绕点 $A$逆时针旋转 $90°$，得到 $\mathit{AE}$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{DE}$．点 $F$是 $\mathit{DE}$的中点，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{CF}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{AD}$；

（2）如图2所示，在点 $D$运动的过程中，当 $\mathit{BD}=2\mathit{CD}$时，分别延长 $\mathit{CF}$， $\mathit{BA}$，相交于点 $G$，猜想 $\mathit{AG}$与 $\mathit{BC}$存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点 $D$运动的过程中，在线段 $\mathit{AD}$上存在一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$的值最小．当 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$的值取得最小值时， $\mathit{AP}$的长为 $m$，请直接用含 $m$的式子表示 $\mathit{CE}$的长．

有公共顶点 $A$ 的正方形 $\mathit{ABCD}$ 与正方形 $\mathit{AEGF}$ 按如图1所示放置，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 和 $\mathit{AD}$ 上，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{DE}$ ， $M$ 是 $\mathit{BF}$ 的中点，连接 $\mathit{AM}$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $N$ ．

【观察猜想】

（1）线段 $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AM}$ 之间的数量关系是 　　，位置关系是 　　；

【探究证明】

（2）将图1中的正方形 $\mathit{AEGF}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45°$ ，点 $G$ 恰好落在边 $\mathit{AB}$ 上，如图2，其他条件不变，线段 $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AM}$ 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

将正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$绕点 $A$逆时针旋转至 $\mathit{AB}\text{'}$，记旋转角为 $\alpha$，连接 $\mathit{BB}\text{'}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}$垂直于直线 $\mathit{BB}\text{'}$，垂足为点 $E$，连接 $\mathit{DB}\text{'}$， $\mathit{CE}$．

（1）如图1，当 $\alpha =60°$时， $\mathit{\Delta DEB}\text{'}$的形状为　 　，连接 $\mathit{BD}$，可求出 $\frac{\mathit{BB}\text{'}}{\mathit{CE}}$的值为　　；

（2）当 $0°<\alpha <360°$且 $\alpha \ne 90°$时，

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点 $B\text{'}$， $E$， $C$， $D$为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 $\frac{\mathit{BE}}{B\text{'}E}$的值．