初中数学旋转的性质解答题

如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle B=30°$，点 $M$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MC}$，点 $P$是线段 $\mathit{BC}$延长线上一点，且 $\mathit{PC}<\mathit{BC}$，连接 $\mathit{MP}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$．将射线 $\mathit{MP}$绕点 $M$逆时针旋转 $60°$交线段 $\mathit{CA}$的延长线于点 $D$．

（1）找出与 $\angle \mathit{AMP}$相等的角，并说明理由．

（2）如图2， $\mathit{CP}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BC}}$的值．

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{MD}=\frac{\sqrt{13}}{3}$，求线段 $\mathit{AB}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\angle \mathit{AOB}=60°$ ，对角线 $\mathit{AC}$ 所在的直线绕点 $O$ 顺时针旋转角 $\alpha (0°<\alpha <120°)$ ，所得的直线 $l$ 分别交 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta AOE}\cong \mathit{\Delta COF}$ ；

（2）当旋转角 $\alpha$ 为多少度时，四边形 $\mathit{AFCE}$ 为菱形？试说明理由．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\angle \mathit{ACB}=30°$ ，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $C$ 顺时针旋转一定的角度 $\alpha$ 得到 $\mathit{\Delta DEC}$ ，点 $A$ 、 $B$ 的对应点分别是 $D$ 、 $E$ ．

（1）当点 $E$ 恰好在 $\mathit{AC}$ 上时，如图1，求 $\angle \mathit{ADE}$ 的大小；

（2）若 $\alpha =60°$ 时，点 $F$ 是边 $\mathit{AC}$ 中点，如图2，求证：四边形 $\mathit{BEDF}$ 是平行四边形．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AB}=\sqrt{7}$， $\mathit{AC}=2$，过点 $B$作直线 $m//\mathit{AC}$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转得到△ $A\text{'}B\text{'}C$（点 $A$， $B$的对应点分别为 $A^{\text{'}}$， $B\text{'})$，射线 $\mathit{CA}\text{'}$， $\mathit{CB}\text{'}$分别交直线 $m$于点 $P$， $Q$．

（1）如图1，当 $P$与 $A\text{'}$重合时，求 $\angle \mathit{ACA}\text{'}$的度数；

（2）如图2，设 $A\text{'}B\text{'}$与 $\mathit{BC}$的交点为 $M$，当 $M$为 $A\text{'}B\text{'}$的中点时，求线段 $\mathit{PQ}$的长；

（3）在旋转过程中，当点 $P$， $Q$分别在 $\mathit{CA}\text{'}$， $\mathit{CB}\text{'}$的延长线上时，试探究四边形 $P{A}^{\text{'}}B\text{'}Q$的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形 $\mathit{PA}\text{'}B\text{'}Q$的最小面积；若不存在，请说明理由．

我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．

图形的变化	示例图形	与对应线段有关的结论	与对应点有关的结论
平移		（1）	$\mathit{AA}\text{'}=\mathit{BB}\text{'}$ $\mathit{AA}\text{'}//\mathit{BB}\text{'}$
轴对称		（2）	（3）
旋转		$\mathit{AB}=A\text{'}B\text{'}$；对应线段 $\mathit{AB}$和 $A\text{'}B\text{'}$所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补．	（4）

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=90°$， $\mathit{AM}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$于点 $N$， $\angle \mathit{EMF}=135°$．将 $\angle \mathit{EMF}$绕点 $M$旋转，使 $\angle \mathit{EMF}$的两边交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $F$，请解答下列问题：

（1）当 $\angle \mathit{EMF}$绕点 $M$旋转到如图①的位置时，求证： $\mathit{BE}+\mathit{CF}=\mathit{BM}$；

（2）当 $\angle \mathit{EMF}$绕点 $M$旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{BM}$之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下， $\tan \angle \mathit{BEM}=\sqrt{3}$， $\mathit{AN}=\sqrt{2}+1$，则 $\mathit{BM}=$　　， $\mathit{CF}=$　　．

通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．

【模型呈现】

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将斜边 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，可以推理得到 $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DAE}$，进而得到 $\mathit{AC}=\mathit{DE}$， $\mathit{BC}=\mathit{AE}$．

我们把这个数学模型称为“ $K$型”．

推理过程如下：

【模型应用】

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$内接于 $\odot O$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BC}=2$，将斜边 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转一定的角度得到 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{DE}=1$，连接 $\mathit{DO}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{FC}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，连接 $\mathit{FB}$．求证： $F{G}^2=\mathit{GO}·\mathit{GB}$．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $D$、 $E$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的中点， 将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$按顺时针方向旋转一个角度 $\alpha (0°<\alpha <90°)$得到△ $A{D}^{\text{'}}E\text{'}$，连接 $\mathit{BD}\text{'}$、 $\mathit{CE}\text{'}$，如图 1 ．

（1） 求证： $\mathit{BD}\text{'}=C{E}^{\text{'}}$；

（2） 如图 2 ，当 $\alpha =60°$时， 设 $\mathit{AB}$与 $D\text{'}E\text{'}$交于点 $F$，求 $\frac{\mathit{BF}}{\mathit{FA}}$的值 ．

如图，在平面直角坐标系中，直角 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点分别是 $A(-3,1)$， $B(0,3)$， $C(0,1)$

（1）将 $\mathit{\Delta ABC}$以点 $C$为旋转中心旋转 $180°$，画出旋转后对应的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（2）分别连接 $A{B}_1$、 $B{A}_1$后，求四边形 $A{B}_1{A}_{1}B$的面积．

思维启迪：

（1）如图1， $A$， $B$两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 $A$， $B$间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达 $B$点的点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，取 $\mathit{BC}$的中点 $P$（点 $P$可以直接到达 $A$点），利用工具过点 $C$作 $\mathit{CD}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $D$，此时测得 $\mathit{CD}=200$米，那么 $A$， $B$间的距离是　200　米．

思维探索：

（2）在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，且 $\mathit{AE}<\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=90°$，将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$顺时针方向旋转，把点 $E$在 $\mathit{AC}$边上时 $\mathit{\Delta ADE}$的位置作为起始位置（此时点 $B$和点 $D$位于 $\mathit{AC}$的两侧），设旋转角为 $\alpha$，连接 $\mathit{BD}$，点 $P$是线段 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$．

①如图2，当 $\mathit{\Delta ADE}$在起始位置时，猜想： $\mathit{PC}$与 $\mathit{PE}$的数量关系和位置关系分别是　　；

②如图3，当 $\alpha =90°$时，点 $D$落在 $\mathit{AB}$边上，请判断 $\mathit{PC}$与 $\mathit{PE}$的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

③当 $\alpha =150°$时，若 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{DE}=1$，请直接写出 $P{C}^2$的值．

【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点 $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$内一点， $\mathit{PA}=1$， $\mathit{PB}=2$， $\mathit{PC}=3$．你能求出 $\angle \mathit{APB}$的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将 $\mathit{\Delta BPC}$绕点 $B$逆时针旋转 $90°$，得到△ $\mathit{BP}\text{'}A$，连接 $\mathit{PP}\text{'}$，求出 $\angle \mathit{APB}$的度数；

思路二：将 $\mathit{\Delta APB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$，得到△ $C{P}^{\text{'}}B$，连接 $\mathit{PP}\text{'}$，求出 $\angle \mathit{APB}$的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

【类比探究】

如图2，若点 $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$外一点， $\mathit{PA}=3$， $\mathit{PB}=1$， $\mathit{PC}=\sqrt{11}$，求 $\angle \mathit{APB}$的度数．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}(\frac{1}{2}\mathit{AC}<\mathit{BC}<\mathit{AC})$绕点 $C$顺时针旋转得 $\mathit{\Delta DEC}$，射线 $\mathit{AB}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $F$．

（1） $\angle \mathit{AFD}$与 $\angle \mathit{BCE}$的关系是　　；

（2）如图2，当旋转角为 $60°$时，点 $D$，点 $B$与线段 $\mathit{AC}$的中点 $O$恰好在同一直线上，延长 $\mathit{DO}$至点 $G$，使 $\mathit{OG}=\mathit{OD}$，连接 $\mathit{GC}$．

① $\angle \mathit{AFD}$与 $\angle \mathit{GCD}$的关系是　　，请说明理由；

②如图3，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{BE}$，若 $\angle \mathit{ACB}=45°$， $\mathit{CE}=4$，求线段 $\mathit{AE}$的长度．

如图，点 $E$， $F$分别在正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{DE}=\mathit{CF}$，点 $P$在射线 $\mathit{BC}$上（点 $P$不与点 $F$重合）．将线段 $\mathit{EP}$绕点 $E$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{EG}$，过点 $E$作 $\mathit{GD}$的垂线 $\mathit{QH}$，垂足为点 $H$，交射线 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）如图1，若点 $E$是 $\mathit{CD}$的中点，点 $P$在线段 $\mathit{BF}$上，线段 $\mathit{BP}$， $\mathit{QC}$， $\mathit{EC}$的数量关系为　　．

（2）如图2，若点 $E$不是 $\mathit{CD}$的中点，点 $P$在线段 $\mathit{BF}$上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为6， $\mathit{AB}=3\mathit{DE}$， $\mathit{QC}=1$，请直接写出线段 $\mathit{BP}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ADE}$由 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $90°$得到，且点 $B$的对应点 $D$恰好落在 $\mathit{BC}$的延长线上， $\mathit{AD}$， $\mathit{EC}$相交于点 $P$．

（1）求 $\angle \mathit{BDE}$的度数；

（2） $F$是 $\mathit{EC}$延长线上的点，且 $\angle \mathit{CDF}=\angle \mathit{DAC}$．

①判断 $\mathit{DF}$和 $\mathit{PF}$的数量关系，并证明；

②求证： $\frac{\mathit{EP}}{\mathit{PF}}=\frac{\mathit{PC}}{\mathit{CF}}$．

已知 $O$为直线 $\mathit{MN}$上一点， $\mathit{OP}\perp \mathit{MN}$，在等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$中， $\angle \mathit{BAO}=90°$， $\mathit{AC}//\mathit{OP}$交 $\mathit{OM}$于 $C$， $D$为 $\mathit{OB}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{DC}$交 $\mathit{MN}$于 $E$．

（1）如图1，若点 $B$在 $\mathit{OP}$上，则

① $\mathit{AC}$　 $\mathit{ }$　 $\mathit{OE}$（填“ $<$”，“ $=$”或“ $>$” $)$；

②线段 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CO}$、 $\mathit{CD}$满足的等量关系式是　    　；

（2）将图1中的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$绕 $O$点顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <45°)$，如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；

（3）将图1中的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$绕 $O$点顺时针旋转 $\alpha (45°<\alpha <90°)$，请你在图3中画出图形，并直接写出线段 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CO}$、 $\mathit{CD}$满足的等量关系式　   　．