如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $AD$ 的中点，以点 $E$ 为直角顶点的直角三角形 $EFG$ 的两边 $EF$ ， $EG$ 分别过点 $B$ ， $C$ ， $∠ F = 30 °$ ．

（1）求证： $BE = CE$ ；

（2）将 $ΔEFG$ 绕点 $E$ 按顺时针方向旋转，当旋转到 $EF$ 与 $AD$ 重合时停止转动，若 $EF$ ， $EG$ 分别与 $AB$ ， $BC$ 相交于点 $M$ ， $N$ （如图 $2)$ ．

①求证： $ΔBEM ≅ ΔCEN$ ；

②若 $AB = 2$ ，求 $ΔBMN$ 面积的最大值；

③当旋转停止时，点 $B$ 恰好在 $FG$ 上（如图 $3)$ ，求 $\sin ∠ EBG$ 的值．

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如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 经过点 $A (3, 0)$ ， $B (- 1, 0)$ ， $C (0, - 3)$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若以点 $A$ 为圆心的圆与直线 $BC$ 相切于点 $M$ ，求切点 $M$ 的坐标；

（3）若点 $Q$ 在 $x$ 轴上，点 $P$ 在抛物线上，是否存在以点 $B$ ， $C$ ， $Q$ ， $P$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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知识背景

当 $a > 0$ 且 $x > 0$ 时，因为 ${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}})}^{2} ⩾ 0$ ，所以 $x - 2 \sqrt{a} + \frac{a}{x} ⩾ 0$ ，从而 $x + \frac{a}{x} ⩾ 2 \sqrt{a}$ （当 $x = \sqrt{a}$ 时取等号）．

设函数 $y = x + \frac{a}{x} (a > 0, x > 0)$ ，由上述结论可知：当 $x = \sqrt{a}$ 时，该函数有最小值为 $2 \sqrt{a}$ ．

应用举例

已知函数为 $y_{1} = x (x > 0)$ 与函数 $y_{2} = \frac{4}{x} (x > 0)$ ，则当 $x = \sqrt{4} = 2$ 时， $y_{1} + y_{2} = x + \frac{4}{x}$ 有最小值为 $2 \sqrt{4} = 4$ ．

解决问题

（1）已知函数 $y_{1} = x + 3 (x > - 3)$ 与函数 $y_{2} = {(x + 3)}^{2} + 9 (x > - 3)$ ，当 $x$ 取何值时， $\frac{y_{2}}{y_{1}}$ 有最小值？最小值是多少？

（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为 $x$ 天，则当 $x$ 取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？

题型：未知
难度：未知

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如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $AD$ ， $BC$ 的中点，连接 $DF$ ，过点 $E$ 作 $EH ⊥ DF$ ，垂足为 $H$ ， $EH$ 的延长线交 $DC$ 于点 $G$ ．

（1）猜想 $DG$ 与 $CF$ 的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点 $H$ 作 $MN / / CD$ ，分别交 $AD$ ， $BC$ 于点 $M$ ， $N$ ，若正方形 $ABCD$ 的边长为10，点 $P$ 是 $MN$ 上一点，求 $ΔPDC$ 周长的最小值．

题型：未知
难度：未知

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“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境， $A$ ， $B$ 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：

村庄	清理养鱼网箱人数 $/$ 人	清理捕鱼网箱人数 $/$ 人	总支出 $/$ 元
$A$	15	9	57000
$B$	10	16	68000

（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；

（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？

题型：未知
难度：未知

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在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒 $EF$ ；③ $T$ 型尺 $(CD$ 所在的直线垂直平分线段 $AB)$ ．

（1）在图1中，请你画出用 $T$ 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；

（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：

将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 $M$ ， $N$ 之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得 $MN = 10 m$ ，请你求出这个环形花坛的面积．

题型：未知
难度：未知

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