问题:如图①,在 中, , 为 边上一点(不与点 , 重合),将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ,连接 ,则线段 , , 之间满足的等量关系式为 ;
探索:如图②,在 与 中, , ,将 绕点 旋转,使点 落在 边上,试探索线段 , , 之间满足的等量关系,并证明你的结论;
应用:如图③,在四边形 中, .若 , ,求 的长.
已知点 在双曲线 上且 ,过点 作 轴的垂线,垂足为 .
(1)如图1,当 时, 是 轴上的动点,将点 绕点 顺时针旋转 至点 .
①若 ,直接写出点 的坐标;
②若双曲线 经过点 ,求 的值.
(2)如图2,将图1中的双曲线 沿 轴折叠得到双曲线 ,将线段 绕点 旋转,点 刚好落在双曲线 上的点 处,求 和 的数量关系.
如图,在 中, , 是中线, ,一个以点 为顶点的 角绕点 旋转,使角的两边分别与 、 的延长线相交,交点分别为点 , , 与 交于点 , 与 交于点 .
(1)如图1,若 ,求证: ;
(2)如图2,在 绕点 旋转的过程中:
①探究三条线段 , , 之间的数量关系,并说明理由;
②若 , ,求 的长.
如图,抛物线 与 轴交于点 , ,与 轴交于点 .
(1)试求 , , 的坐标;
(2)将 绕 中点 旋转 ,得到 .
①求点 的坐标;
②判断四边形 的形状,并说明理由;
(3)在该抛物线对称轴上是否存在点 ,使 与 相似?若存在,请直接写出所有满足条件的 点的坐标;若不存在,请说明理由.
在学习了图形的旋转知识后,数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究.
(一)尝试探究
如图1,在四边形 中, , , ,点 、 分别在线段 、 上, ,连接 .
(1)如图2,将 绕点 逆时针旋转 后得到△ 与 重合),请直接写出 度,线段 、 、 之间的数量关系为 .
(2)如图3,当点 、 分别在线段 、 的延长线上时,其他条件不变,请探究线段 、 、 之间的数量关系,并说明理由.
(二)拓展延伸
如图4,在等边 中, 、 是边 上的两点, , ,将 绕点 逆时针旋转 得到△ 与 重合),连接 , 与 交于点 ,过点 作 于点 ,连接 ,求线段 的长度.
如图,在 中, , , .线段 由线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到, 由 沿 方向平移得到,且直线 过点 .
(1)求 的大小;
(2)求 的长.
如图,在 中, , , .线段 由线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到, 由 沿 方向平移得到,且直线 过点 .
(1)求 的大小;
(2)求 的长.
如图,已知 ,垂足为 , , ,将线段 绕点 按逆时针方向旋转 ,得到线段 ,连接 , .
(1)线段 ;
(2)求线段 的长度.
折纸的思考.
(操作体验)
用一张矩形纸片折等边三角形.
第一步,对折矩形纸片 (图①),使 与 重合,得到折痕 ,把纸片展平(图②).
第二步,如图③,再一次折叠纸片,使点 落在 上的 处,并使折痕经过点 ,得到折痕 ,折出 、 ,得到 .
(1)说明 是等边三角形.
(数学思考)
(2)如图④,小明画出了图③的矩形 和等边三角形 .他发现,在矩形 中把 经过图形变化,可以得到图⑤中的更大的等边三角形,请描述图形变化的过程.
(3)已知矩形一边长为 ,另一边长为 ,对于每一个确定的 的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形,请画出不同情形的示意图,并写出对应的 的取值范围.
(问题解决)
(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 和 的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为 .
(操作发现)
如图①,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中, 的三个顶点均在格点上.
(1)请按要求画图:将 绕点 按顺时针方向旋转 ,点 的对应点为 ,点 的对应点为 ,连接 ;
(2)在(1)所画图形中, .
(问题解决)
如图②,在等边三角形 中, ,点 在 内,且 , ,求 的面积.
小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法:
想法一:将 绕点 按顺时针方向旋转 ,得到△ ,连接 ,寻找 , , 三条线段之间的数量关系;
想法二:将 绕点 按逆时针方向旋转 ,得到△ ,连接 ,寻找 , , 三条线段之间的数量关系.
请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程.(一种方法即可)
(灵活运用)
如图③,在四边形 中, ,垂足为 , , , , 为常数),求 的长(用含 的式子表示).
已知 是等腰直角三角形, , 是边 上一动点 、 两点除外),将 绕点 按逆时针方向旋转角 得到 ,其中点 是点 的对应点,点 是点 的对应点.
(1)如图1,当 时, 是边 上一点,且 ,连接 .求证: ;
(2)如图2,当 时, 与 相交于点 .
①当点 与点 、 不重合时,连接 ,求 的度数;
②设 为边 的中点,当 从 变化到 时,求点 运动的路径长.
问题背景:
如图①,在四边形 中, , ,探究线段 , , 之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是:将 绕点 ,逆时针旋转 到 处,点 , 分别落在点 , 处(如图② ,易证点 , , 在同一条直线上,并且 是等腰直角三角形,所以 ,从而得出结论: .
简单应用:
(1)在图①中,若 , ,则 .
(2)如图③, 是 的直径,点 、 在 上, ,若 , ,求 的长.
拓展规律:
(3)如图④, , ,若 , ,求 的长(用含 , 的代数式表示)
(4)如图⑤, , ,点 为 的中点,若点 满足 , ,点 为 的中点,则线段 与 的数量关系是 .