初中数学四边形综合题解答题

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $P$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 所在直线上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PD}$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ． $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$ ， $\mathit{AD}=4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\angle \mathit{PDM}$ 和 $\angle \mathit{EPN}$ 的数量关系为： $\angle \mathit{PDM}$    $\angle \mathit{EPN}$ ；

② $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{PE}}$ 的值是 　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $\mathit{CA}$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $\mathit{PD}$ ， $\mathit{PE}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEFD}$ ．设 $\mathit{PM}$ 的长为 $x$ ，矩形 $\mathit{PEFD}$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】

（1）如图①，对余四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=6$ ， $\mathit{CD}=4$ ，连接 $\mathit{AC}$ ．若 $\mathit{AC}=\mathit{AB}$ ，求 $\sin \angle \mathit{CAD}$ 的值；

（2）如图②，凸四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$ ， $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$ ，当 $2C{D}^2+C{B}^2=C{A}^2$ 时，判断四边形 $\mathit{ABCD}$ 是否为对余四边形．证明你的结论；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，点 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ ， $C(1,2)$ ，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是对余四边形，点 $E$ 在对余线 $\mathit{BD}$ 上，且位于 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部， $\angle \mathit{AEC}=90°+\angle \mathit{ABC}$ ．设 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{BE}}=u$ ，点 $D$ 的纵坐标为 $t$ ，请直接写出 $u$ 关于 $t$ 的函数解析式．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上， $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的长分别是一元二次方程 $x^2-7x+12=0$的两个根 $(\mathit{BC}>\mathit{AB})$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$，边 $\mathit{CD}$交 $y$轴于点 $E$，动点 $P$以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$出发沿折线段 $\mathit{AD}-\mathit{DE}$向点 $E$运动，运动的时间为 $t(0⩽t⩽6)$秒，设 $\mathit{\Delta BPE}$的面积为 $S$．

（1）求点 $D$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点 $P$运动的过程中，是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BEP}$是以 $\mathit{BE}$为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形．

（1）当为何值时，为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）求的长；

（4）取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得△，连接，当为何值时，的值最小？并求出最小值．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$中 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于 $O$点，点 $M$在线段 $\mathit{BD}$上，作直线 $\mathit{AM}$交直线 $\mathit{DC}$于 $E$，过 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AE}$于 $H$，设直线 $\mathit{DH}$交 $\mathit{AC}$于 $N$．

（1）如图1，当 $M$在线段 $\mathit{BO}$上时，求证： $\mathit{MO}=\mathit{NO}$；

（2）如图2，当 $M$在线段 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{NE}$，当 $\mathit{EN}//\mathit{BD}$时，求证： $\mathit{BM}=\mathit{AB}$；

（3）在图3，当 $M$在线段 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{NE}$，当 $\mathit{NE}\perp \mathit{EC}$时，求证： $A{N}^2=\mathit{NC}\cdot \mathit{AC}$．

菱形 $\mathit{ABCD}$在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点 $E$恰好在 $y$轴上，过点 $D$和 $\mathit{BC}$的中点 $H$的直线交 $\mathit{AC}$于点 $F$，线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{CD}$的长是方程 $x^2-9x+18=0$的两根，请解答下列问题：

（1）求点 $D$的坐标；

（2）若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象经过点 $H$，则 $k=$　　；

（3）点 $Q$在直线 $\mathit{BD}$上，在直线 $\mathit{DH}$上是否存在点 $P$，使以点 $F$， $C$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $E$为边 $\mathit{AB}$上一动点，连接 $\mathit{CE}$并将其绕点 $C$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{CF}$，连接 $\mathit{DF}$，以 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CF}$为邻边作矩形 $\mathit{CFGE}$， $\mathit{GE}$与 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$分别交于点 $H$、 $M$， $\mathit{GF}$交 $\mathit{CD}$延长线于点 $N$．

（1）证明：点 $A$、 $D$、 $F$在同一条直线上；

（2）随着点 $E$的移动，线段 $\mathit{DH}$是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{EF}$、 $\mathit{MN}$，当 $\mathit{MN}//\mathit{EF}$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．

（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．

①求证：△AGE≌△AFE；

②若BE＝2，DF＝3，求AH的长．

（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

如图，四边形 $\mathit{OABC}$是边长为4的正方形，点 $P$为 $\mathit{OA}$边上任意一点（与点 $O$、 $A$不重合），连接 $\mathit{CP}$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{CP}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，且 $\mathit{PM}=\mathit{CP}$，过点 $M$作 $\mathit{MN}//\mathit{AO}$，交 $\mathit{BO}$于点 $N$，连接 $\mathit{ND}$、 $\mathit{BM}$，设 $\mathit{OP}=t$．

（1）求点 $M$的坐标（用含 $t$的代数式表示）；

（2）试判断线段 $\mathit{MN}$的长度是否随点 $P$的位置的变化而改变？并说明理由．

（3）当 $t$为何值时，四边形 $\mathit{BNDM}$的面积最小；

（4）在 $x$轴正半轴上存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta QMN}$是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点 $Q$的坐标（用含 $t$的式子表示）．

如图，在以点为中心的正方形中，，连接，动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点停止．在运动过程中，的外接圆交于点，连接交于点，连接，将沿翻折，得到．

（1）求证：是等腰直角三角形；

（2）当点恰好落在线段上时，求的长；

（3）设点运动的时间为秒，的面积为，求关于时间的关系式．

如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．

（1）求线段的长；

（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．

①写出关于的函数解析式，并求出的最小值；

②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在△ ABC中，∠ ACB＝90°，∠ B＝30°， AC＝4， D是 AB的中点， EF是△ ACD的中位线，矩形 EFGH的顶点都在△ ACD的边上．

（1）求线段 EF、 FG的长；

（2）如图2，将矩形 EFGH沿 AB向右平移，点 F落在 BC上时停止移动，设矩形移动的距离为 x，矩形与△ CBD重叠部分的面积为 S，求出 S关于 x的函数解析式；

（3）如图3，矩形 EFGH平移停止后，再绕点 G按顺时针方向旋转，当点 H落在 CD边上时停止旋转，此时矩形记作 E ₁ F ₁ GH ₁，设旋转角为α，求cosα的值．

以菱形 $\mathit{ABCD}$的对角线交点 $O$为坐标原点， $\mathit{AC}$所在的直线为 $x$轴，已知 $A(-4,0)$， $B(0,-2)$， $M(0,4)$， $P$为折线 $\mathit{BCD}$上一动点，作 $\mathit{PE}\perp y$轴于点 $E$，设点 $P$的纵坐标为 $a$．

（1）求 $\mathit{BC}$边所在直线的解析式；

（2）设 $y=M{P}^2+O{P}^2$，求 $y$关于 $a$的函数关系式；

（3）当 $\mathit{\Delta OPM}$为直角三角形时，求点 $P$的坐标．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}\ne \mathit{CD}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$上，且 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}=\mathit{AF}$， $\mathit{CD}=\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{CF}\perp \mathit{FB}$；

（2）求证：以 $\mathit{AD}$为直径的圆与 $\mathit{BC}$相切；

（3）若 $\mathit{EF}=2$， $\angle \mathit{DFE}=120°$，求 $\mathit{\Delta ADE}$的面积．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $O$为坐标原点，点 $B$的坐标为 $(4,3)$，点 $A$、 $C$在坐标轴上，点 $P$在 $\mathit{BC}$边上，直线 $l_1:y=2x+3$，直线 $l_2:y=2x-3$．

（1）分别求直线 $l_1$与 $x$轴，直线 $l_2$与 $\mathit{AB}$的交点坐标；

（2）已知点 $M$在第一象限，且是直线 $l_2$上的点，若 $\mathit{\Delta APM}$是等腰直角三角形，求点 $M$的坐标；

（3）我们把直线 $l_1$和直线 $l_2$上的点所组成的图形为图形 $F$．已知矩形 $\mathit{ANPQ}$的顶点 $N$在图形 $F$上， $Q$是坐标平面内的点，且 $N$点的横坐标为 $x$，请直接写出 $x$的取值范围（不用说明理由）．