初中数学四边形综合题解答题

如图，在平行四边形中，点是的中点，点是边上的点，，平行四边形的面积为，由、、三点确定的圆的周长为．

（1）若的面积为30，直接写出的值；

（2）求证：平分；

（3）若，，，求的值．

如图所示，梯形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$ ， $\angle B=90°$ ， $\mathit{AD}=15$ ， $\mathit{AB}=16$ ， $\mathit{BC}=12$ ，点 $E$ 是边 $\mathit{AB}$ 上的动点，点 $F$ 是射线 $\mathit{CD}$ 上一点，射线 $\mathit{ED}$ 和射线 $\mathit{AF}$ 交于点 $G$ ，且 $\angle \mathit{AGE}=\angle \mathit{DAB}$ ．

（1）求线段 $\mathit{CD}$ 的长；

（2）如果 $\mathit{\Delta AEG}$ 是以 $\mathit{EG}$ 为腰的等腰三角形，求线段 $\mathit{AE}$ 的长；

（3）如果点 $F$ 在边 $\mathit{CD}$ 上（不与点 $C$ 、 $D$ 重合），设 $\mathit{AE}=x$ ， $\mathit{DF}=y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围．

问题提出：

（1）如图1，已知，试确定一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；

问题探究：

（2）如图2，在矩形中，，，若要在该矩形中作出一个面积最大的，且使，求满足条件的点到点的距离；

问题解决：

（3）如图3，有一座塔，按规定，要以塔为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区．根据实际情况，要求顶点是定点，点到塔的距离为50米，，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔的占地面积忽略不计）

问题提出

（1）如图①，已知直线及外一点，试在直线上确定、两点，使，并画出这个．

问题探究

（2）如图②，是边长为28的正方形的对称中心，是边上的中点，连接．试在正方形的边上确定点，使线段和将正方形分割成面积之比为的两部分．求点到点的距离．

问题解决

（3）如图③，有一个矩形花园，，．根据设计要求，点、在对角线上，且，并在四边形区域内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：，

问题提出

（1）如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{BC}=6$ ， $D$ 为 $\mathit{BC}$ 上一点， $\mathit{AD}=4$ ，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 面积的最大值是 　　．

问题探究

（2）如图②，已知矩形 $\mathit{ABCD}$ 的周长为12，求矩形 $\mathit{ABCD}$ 面积的最大值．

问题解决

（3）如图③， $\mathit{\Delta ABC}$ 是葛叔叔家的菜地示意图，其中 $\mathit{AB}=30$ 米， $\mathit{BC}=40$ 米， $\mathit{AC}=50$ 米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形 $\mathit{ABCD}$ ，且满足 $\angle \mathit{ADC}=60°$ ．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称△是的“旋补三角形”，△ 边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”．

①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为　　；

②如图3，当，时，则长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形，，，，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

如图1，在，将一块与全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠。
（1）操作1：固定，将三角板沿方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2所示，探究：三角板沿方向平移的距离为___________；
（2）操作2：在（1）的情况下，将三角板BC的中点M顺时针方向旋转角度，如图3所示，探究：设三角形板两直角边分别与AB、AC交于点P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，问：四边形MPAQ的面积S是否改变，若不变，求其面积；若改变，试说明理由；

（1）如图1，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使 $\mathit{BC}$落在对角线 $\mathit{BD}$上，折痕为 $\mathit{BE}$，点 $C$落在点 $C\text{'}$处，若 $\angle \mathit{ADB}=46°$，则 $\angle \mathit{DBE}$的度数为　　 $°$．

（2）小明手中有一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=9$．

【画一画】

如图2，点 $E$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CE}$所在直线上，折痕设为 $\mathit{MN}$（点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上），利用直尺和圆规画出折痕 $\mathit{MN}$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

【算一算】

如图3，点 $F$在这张矩形纸片的边 $\mathit{BC}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{FB}$落在射线 $\mathit{FD}$上，折痕为 $\mathit{GF}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，若 $\mathit{AG}=\frac{7}{3}$，求 $B\text{'}D$的长；

【验一验】

如图4，点 $K$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上， $\mathit{DK}=3$，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CK}$所在直线上，折痕为 $\mathit{HI}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，小明认为 $B\text{'}I$所在直线恰好经过点 $D$，他的判断是否正确，请说明理由．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$， $O$是 $\mathit{BC}$边的中点，点 $E$是正方形内一动点， $\mathit{OE}=2$，连接 $\mathit{DE}$，将线段 $\mathit{DE}$绕点 $D$逆时针旋转 $90°$得 $\mathit{DF}$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $A$， $E$， $O$三点共线，连接 $\mathit{OF}$，求线段 $\mathit{OF}$的长．

（3）求线段 $\mathit{OF}$长的最小值．

如图1，将 $\mathit{\Delta ABC}$纸片沿中位线 $\mathit{EH}$折叠，使点 $A$对称点 $D$落在 $\mathit{BC}$边上，再将纸片分别沿等腰 $\mathit{\Delta BED}$和等腰 $\mathit{\Delta DHC}$的底边上的高线 $\mathit{EF}$， $\mathit{HG}$折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．

（1）将 $▱\mathit{ABCD}$纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形 $\mathit{AEFG}$，则操作形成的折痕分别是线段　　，　　； $S_{\mathit{矩形}\mathit{AEFG}}:S_{▱\mathit{ABCD}}=$　　．

（2） $▱\mathit{ABCD}$纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形 $\mathit{EFGH}$，若 $\mathit{EF}=5$， $\mathit{EH}=12$，求 $\mathit{AD}$的长；

（3）如图4，四边形 $\mathit{ABCD}$纸片满足 $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}<\mathit{BC}$， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=10$，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的长．

定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1，等腰直角四边形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，

①若 $\mathit{AB}=\mathit{CD}=1$， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$，求对角线 $\mathit{BD}$的长．

②若 $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{CD}$，

（2）如图2，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=9$，点 $P$是对角线 $\mathit{BD}$上一点，且 $\mathit{BP}=2\mathit{PD}$，过点 $P$作直线分别交边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$，使四边形 $\mathit{ABFE}$是等腰直角四边形，求 $\mathit{AE}$的长．

如图， $\mathit{AM}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线， $D$是线段 $\mathit{AM}$上一点（不与点 $A$重合）． $\mathit{DE}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $\mathit{CE}//\mathit{AM}$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）如图1，当点 $D$与 $M$重合时，求证：四边形 $\mathit{ABDE}$是平行四边形；

（2）如图2，当点 $D$不与 $M$重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）如图3，延长 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$，若 $\mathit{BH}\perp \mathit{AC}$，且 $\mathit{BH}=\mathit{AM}$．

①求 $\angle \mathit{CAM}$的度数；

②当 $\mathit{FH}=\sqrt{3}$， $\mathit{DM}=4$时，求 $\mathit{DH}$的长．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$．

（1）如图1， $E$， $G$分别是 $\mathit{OB}$， $\mathit{OC}$上的点， $\mathit{CE}$与 $\mathit{DG}$的延长线相交于点 $F$．若 $\mathit{DF}\perp \mathit{CE}$，求证： $\mathit{OE}=\mathit{OG}$；

（2）如图2， $H$是 $\mathit{BC}$上的点，过点 $H$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{BC}$，交线段 $\mathit{OB}$于点 $E$，连接 $\mathit{DH}$交 $\mathit{CE}$于点 $F$，交 $\mathit{OC}$于点 $G$．若 $\mathit{OE}=\mathit{OG}$，

①求证： $\angle \mathit{ODG}=\angle \mathit{OCE}$；

②当 $\mathit{AB}=1$时，求 $\mathit{HC}$的长．

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，求 $\angle A$的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片 $\mathit{DEBF}$，使顶点 $E$， $F$分别落在边 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$上的点 $A$， $C$处，折痕分别为 $\mathit{DG}$， $\mathit{DH}$．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是三等角四边形．

（3）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，若 $\mathit{CB}=\mathit{CD}=4$，则当 $\mathit{AD}$的长为何值时， $\mathit{AB}$的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 $\mathit{AC}$的长．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AB}=\sqrt{7}$， $\mathit{AC}=2$，过点 $B$作直线 $m//\mathit{AC}$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转得到△ $A\text{'}B\text{'}C$（点 $A$， $B$的对应点分别为 $A^{\text{'}}$， $B\text{'})$，射线 $\mathit{CA}\text{'}$， $\mathit{CB}\text{'}$分别交直线 $m$于点 $P$， $Q$．

（1）如图1，当 $P$与 $A\text{'}$重合时，求 $\angle \mathit{ACA}\text{'}$的度数；

（2）如图2，设 $A\text{'}B\text{'}$与 $\mathit{BC}$的交点为 $M$，当 $M$为 $A\text{'}B\text{'}$的中点时，求线段 $\mathit{PQ}$的长；

（3）在旋转过程中，当点 $P$， $Q$分别在 $\mathit{CA}\text{'}$， $\mathit{CB}\text{'}$的延长线上时，试探究四边形 $P{A}^{\text{'}}B\text{'}Q$的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形 $\mathit{PA}\text{'}B\text{'}Q$的最小面积；若不存在，请说明理由．