定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰

定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1，等腰直角四边形 $ABCD$ ， $AB = BC$ ， $∠ ABC = 90 °$ ，

①若 $AB = CD = 1$ ， $AB / / CD$ ，求对角线 $BD$ 的长．

②若 $AC ⊥ BD$ ，求证： $AD = CD$ ，

（2）如图2，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ ， $BC = 9$ ，点 $P$ 是对角线 $BD$ 上一点，且 $BP = 2 PD$ ，过点 $P$ 作直线分别交边 $AD$ ， $BC$ 于点 $E$ ， $F$ ，使四边形 $ABFE$ 是等腰直角四边形，求 $AE$ 的长．

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如图， $AB / / CD$ ， $AD$ 和 $BC$ 相交于点 $O$ ， $OA = OD$ ．求证： $OB = OC$ ．

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如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象过点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 、 $C (0, 3)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 $P$ ，使得 $ΔPAC$ 的周长最小，若存在，请求出点 $P$ 的坐标及 $ΔPAC$ 的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在 $x$ 轴上方的抛物线上是否存在点 $M$ （不与 $C$ 点重合），使得 $S_{ΔPAM} = S_{ΔPAC}$ ？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图， $∠ ABD = ∠ BCD = 90 °$ ， $DB$ 平分 $∠ ADC$ ，过点 $B$ 作 $BM / / CD$ 交 $AD$ 于 $M$ ．连接 $CM$ 交 $DB$ 于 $N$ ．

（1）求证： $B D^{2} = AD \cdot CD$ ；

（2）若 $CD = 6$ ， $AD = 8$ ，求 $MN$ 的长．

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根据有理数乘法（除法）法则可知：

①若 $ab > 0$ （或 $\frac{a}{b} > 0)$ ，则 $\{\begin{matrix} a > 0 \\ b > 0 \end{matrix}$ 或 $\{\begin{matrix} a < 0 \\ b < 0 \end{matrix}$ ；

②若 $ab < 0$ （或 $\frac{a}{b} < 0)$ ，则 $\{\begin{matrix} a > 0 \\ b < 0 \end{matrix}$ 或 $\{\begin{matrix} a < 0 \\ b > 0 \end{matrix}$ ．

根据上述知识，求不等式 $(x - 2) (x + 3) > 0$ 的解集

解：原不等式可化为：（1） $\{\begin{matrix} x - 2 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{matrix}$ 或（2） $\{\begin{matrix} x - 2 < 0 \\ x + 3 < 0 \end{matrix}$ ．

由（1）得， $x > 2$ ，

由（2）得， $x < - 3$ ，

$∴$ 原不等式的解集为： $x < - 3$ 或 $x > 2$ ．

请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：

（1）不等式 $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 的解集为　 $- 1 < x < 3$ 　．

（2）求不等式 $\frac{x + 4}{1 - x} < 0$ 的解集（要求写出解答过程）

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已知二次函数 $y = x^{2} + x + a$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ 、 $B (x_{2}$ ， $0)$ 两点，且 $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = 1$ ，求 $a$ 的值．

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