初中数学四边形综合题计算题

(回顾）

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=30°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于　    　．

（探究）

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有 $30°$的角，较短的直角边长为 $a$；另一个含有 $45°$的角，直角边长为 $b$，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形 $\mathit{ABCD}$（如图 $3)$，用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形 $\mathit{EFGH}$（如图 $4)$，也推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，请你写出小明或小丽推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$的具体说理过程．

（应用）

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\angle D=75°$， $\mathit{BC}=6$， $\mathit{CD}=5$， $\mathit{AD}=10$（如图5）

（1）点 $E$在 $\mathit{AD}$上，设 $t=\mathit{BE}+\mathit{CE}$，求 $t^2$的最小值；

（2）点 $F$在 $\mathit{AB}$上，将 $\mathit{\Delta BCF}$沿 $\mathit{CF}$翻折，点 $B$落在 $\mathit{AD}$上的点 $G$处，点 $G$是 $\mathit{AD}$的中点吗？说明理由．

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=m$，动点 $P$从点 $D$出发，在边 $\mathit{DA}$上以每秒1个单位的速度向点 $A$运动，连接 $\mathit{CP}$，作点 $D$关于直线 $\mathit{PC}$的对称点 $E$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $m=6$，求当 $P$， $E$， $B$三点在同一直线上时对应的 $t$的值．

（2）已知 $m$满足：在动点 $P$从点 $D$到点 $A$的整个运动过程中，有且只有一个时刻 $t$，使点 $E$到直线 $\mathit{BC}$的距离等于3，求所有这样的 $m$的取值范围．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中，已知 $\mathit{AB}=1$， $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，点 $E$在边 $\mathit{CD}$上移动，连接 $\mathit{AE}$，将多边形 $\mathit{ABCE}$沿直线 $\mathit{AE}$翻折，得到多边形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}E$，点 $B$、 $C$的对应点分别为点 $B\text{'}$、 $C\text{'}$．

（1）当 $B\text{'}C\text{'}$恰好经过点 $D$时（如图 $1$），求线段 $\mathit{CE}$的长；

（2）若 $B\text{'}C\text{'}$分别交边 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$于点 $F$， $G$，且 $\angle \mathit{DAE}=22.5°$（如图 $2)$，求 $\mathit{\Delta DFG}$的面积；

（3）在点 $E$从点 $C$移动到点 $D$的过程中，求点 $C\text{'}$运动的路径长．

问题呈现：

如图1，点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别在矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$上， $\mathit{AE}=\mathit{DG}$，求证： $2S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}=S_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}$．（ $S$表示面积）

实验探究：

某数学实验小组发现：若图1中 $\mathit{AH}\ne \mathit{BF}$，点 $G$在 $\mathit{CD}$上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 $E$、 $G$作 $\mathit{BC}$边的平行线，再分别过点 $F$、 $H$作 $\mathit{AB}$边的平行线，四条平行线分别相交于点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$、 $D_1$，得到矩形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$．

如图2，当 $\mathit{AH}>\mathit{BF}$时，若将点 $G$向点 $C$靠近 $(\mathit{DG}>\mathit{AE})$，经过探索，发现： $2S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}=S_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}+S_{\mathit{矩形}{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$．

如图3，当 $\mathit{AH}>\mathit{BF}$时，若将点 $G$向点 $D$靠近 $(\mathit{DG}<\mathit{AE})$，请探索 $S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}$、 $S_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}$与 $S_{\mathit{矩形}{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$之间的数量关系，并说明理由．

迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图4，点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别是面积为25的正方形 $\mathit{ABCD}$各边上的点，已知 $\mathit{AH}>\mathit{BF}$， $\mathit{AE}>\mathit{DG}$， $S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}=11$， $\mathit{HF}=\sqrt{29}$，求 $\mathit{EG}$的长．

（2）如图5，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=5$，点 $E$、 $H$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$上， $\mathit{BE}=1$， $\mathit{DH}=2$，点 $F$、 $G$分别是边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上的动点，且 $\mathit{FG}=\sqrt{10}$，连接 $\mathit{EF}$、 $\mathit{HG}$，请直接写出四边形 $\mathit{EFGH}$面积的最大值．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $P$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 所在直线上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PD}$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ． $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$ ， $\mathit{AD}=4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\angle \mathit{PDM}$ 和 $\angle \mathit{EPN}$ 的数量关系为： $\angle \mathit{PDM}$ 　 $=$ 　 $\angle \mathit{EPN}$ ；

② $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{PE}}$ 的值是 　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $\mathit{CA}$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $\mathit{PD}$ ， $\mathit{PE}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEFD}$ ．设 $\mathit{PM}$ 的长为 $x$ ，矩形 $\mathit{PEFD}$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

（探索发现）

如图①，是一张直角三角形纸片， $\angle B=90°$，小明想从中剪出一个以 $\angle B$为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 $\mathit{DE}$、 $\mathit{EF}$剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　     　．

（拓展应用）

如图②，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=a$， $\mathit{BC}$边上的高 $\mathit{AD}=h$，矩形 $\mathit{PQMN}$的顶点 $P$、 $N$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上，顶点 $Q$、 $M$在边 $\mathit{BC}$上，则矩形 $\mathit{PQMN}$面积的最大值为　    　．（用含 $a$， $h$的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形” $\mathit{ABCDE}$， $\mathit{AB}=32$， $\mathit{BC}=40$， $\mathit{AE}=20$， $\mathit{CD}=16$，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ $\angle B$为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料 $\mathit{ABCD}$，经测量 $\mathit{AB}=50\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=108\mathit{cm}$， $\mathit{CD}=60\mathit{cm}$，且 $\tan B=\tan C=\frac{4}{3}$，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 $M$、 $N$在边 $\mathit{BC}$上且面积最大的矩形 $\mathit{PQMN}$，求该矩形的面积．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，一个以点 $A$为顶点的 $45°$角绕点 $A$旋转，角的两边分别与边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{DC}$的延长线交于点 $E$、 $F$，连接 $\mathit{EF}$．设 $\mathit{CE}=a$， $\mathit{CF}=b$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{EAF}$被对角线 $\mathit{AC}$平分时，求 $a$、 $b$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta AEF}$是直角三角形时，求 $a$、 $b$的值；

（3）如图3，探索 $\angle \mathit{EAF}$绕点 $A$旋转的过程中 $a$、 $b$满足的关系式，并说明理由．