如图，在等边$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{AB}=6\mathit{cm}$，动点$P$从点$A$出发以$1\mathit{cm}/s$的速度沿$\mathit{AB}$匀速运动．动点$Q$同时从点$C$出发以同样的速度沿$\mathit{BC}$的延长线方向匀速运动，当点$P$到达点$B$时，点$P$、$Q$同时停止运动．设运动时间为$t\left(s\right)$．过点$P$作$\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$于$E$，连接$\mathit{PQ}$交$\mathit{AC}$边于$D$．以$\mathit{CQ}$、$\mathit{CE}$为边作平行四边形$\mathit{CQFE}$．

（1）当$t$为何值时，$\mathit{\Delta BPQ}$为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻$t$，使点$F$在$\angle \mathit{ABC}$的平分线上？若存在，求出$t$的值，若不存在，请说明理由；

（3）求$\mathit{DE}$的长；

（4）取线段$\mathit{BC}$的中点$M$，连接$\mathit{PM}$，将$\mathit{\Delta BPM}$沿直线$\mathit{PM}$翻折，得△$B\text{'}\mathit{PM}$，连接$\mathit{AB}\text{'}$，当$t$为何值时，$A{B}^{\text{'}}$的值最小？并求出最小值．