初中数学等边三角形的判定与性质解答题

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于圆， $\angle \mathit{ABC}=60°$，对角线 $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ADC}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形；

（2）过点 $B$作 $\mathit{BE}//\mathit{CD}$交 $\mathit{DA}$的延长线于点 $E$，若 $\mathit{AD}=2$， $\mathit{DC}=3$，求 $\mathit{\Delta BDE}$的面积．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形， $G$是对角线 $\mathit{BD}$的中点．连接 $\mathit{GC}$并延长至 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{GC}$，以 $\mathit{DC}$， $\mathit{CF}$为邻边作菱形 $\mathit{DCFE}$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）判断四边形 $\mathit{CEDG}$的形状，并证明你的结论．

（2）连接 $\mathit{DF}$，若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，求 $\mathit{DF}$的长．

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=m$， $D$是 $\mathit{AB}$边上的一点，将 $\angle B$沿着过点 $D$的直线折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边的点 $P$处（不与点 $A$， $C$重合），折痕交 $\mathit{BC}$边于点 $E$．

（1）特例感知 如图1，若 $\angle C=60°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点，求证： $\mathit{AP}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$；

（2）变式求异 如图2，若 $\angle C=90°$， $m=6\sqrt{2}$， $\mathit{AD}=7$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，求 $\mathit{DH}$和 $\mathit{AP}$的长；

（3）化归探究 如图3，若 $m=10$， $\mathit{AB}=12$，且当 $\mathit{AD}=a$时，存在两次不同的折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上两个不同的位置，请直接写出 $a$的取值范围．

如图1，在平面直角坐标系， $O$为坐标原点，点 $A(-1,0)$，点 $B(0,\sqrt{3})$．

（1）求 $\angle \mathit{BAO}$的度数；

（2）如图1，将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$顺时针旋转得△ $A\text{'}\mathit{OB}\text{'}$，当 $A\text{'}$恰好落在 $\mathit{AB}$边上时，设△ $\mathit{AB}\text{'}O$的面积为 $S_1$，△ $\mathit{BA}\text{'}O$的面积为 $S_2$， $S_1$与 $S_2$有何关系？为什么？

（3）若将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$顺时针旋转到如图2所示的位置， $S_1$与 $S_2$的关系发生变化了吗？证明你的判断．

如图，正六边形 $\mathit{ABCDEF}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BE}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{BF}$，延长 $\mathit{BA}$，过 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{BA}$，垂足为 $G$．

（1）求证： $\mathit{FG}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\mathit{FG}=2\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

如图，在等边三角形 $\mathit{ABC}$中，点 $E$是边 $\mathit{AC}$上一定点，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$上一动点，以 $\mathit{DE}$为一边作等边三角形 $\mathit{DEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

【问题解决】

如图1，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$上，求证： $\mathit{CE}+\mathit{CF}=\mathit{CD}$；

【类比探究】

如图2，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$的延长线上，请探究线段 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$与 $\mathit{CD}$之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

如图1， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $\mathit{AC}$是一条弦， $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$上一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，连结 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$，且 $\mathit{AF}=\mathit{FG}$．

（1）求证：点 $D$平分 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$；

（2）如图2所示，延长 $\mathit{BA}$至点 $H$，使 $\mathit{AH}=\mathit{AO}$，连结 $\mathit{DH}$．若点 $E$是线段 $\mathit{AO}$的中点．求证： $\mathit{DH}$是 $\odot O$的切线．

已知：如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\angle \mathit{BOC}=120°$ ， $\mathit{AB}=2$ ．

（1）求矩形对角线的长；

（2）过 $O$ 作 $\mathit{OE}\perp \mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．记 $\angle \mathit{ABE}=\alpha$ ，求 $\tan \alpha$ 的值．

问题背景：如图1，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，则 $D$为 $\mathit{BC}$的中点， $\angle \mathit{BAD}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}=60°$，于是 $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}}=\frac{2\mathit{BD}}{\mathit{AB}}=\sqrt{3}$；

迁移应用：如图2， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$都是等腰三角形， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=120°$， $D$， $E$， $C$三点在同一条直线上，连接 $\mathit{BD}$．

①求证： $\mathit{\Delta ADB}\cong \mathit{\Delta AEC}$；

②请直接写出线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=120°$，在 $\angle \mathit{ABC}$内作射线 $\mathit{BM}$，作点 $C$关于 $\mathit{BM}$的对称点 $E$，连接 $\mathit{AE}$并延长交 $\mathit{BM}$于点 $F$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$．

①证明 $\mathit{\Delta CEF}$是等边三角形；

②若 $\mathit{AE}=5$， $\mathit{CE}=2$，求 $\mathit{BF}$的长．

已知： 在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为 $\mathit{AC}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$，垂足分别为点 $E$， $F$，且 $\mathit{DE}=\mathit{DF}$． 求证： $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形 ．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=40°$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BD}=\mathit{BC}=\mathit{CE}$ ，连结 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（1）若 $\angle \mathit{ABC}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDC}$ ， $\angle \mathit{ABE}$ 的度数；

（2）写出 $\angle \mathit{BEC}$ 与 $\angle \mathit{BDC}$ 之间的关系，并说明理由．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$是 $\odot O$上一点，连接 $\mathit{OP}$，点 $A$关于 $\mathit{OP}$的对称点 $C$恰好落在 $\odot O$上．

（1）求证： $\mathit{OP}//\mathit{BC}$；

（2）过点 $C$作 $\odot O$的切线 $\mathit{CD}$，交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $D$．如果 $\angle D=90°$， $\mathit{DP}=1$，求 $\odot O$的直径．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，以点 $B$ 为圆心， $\mathit{BA}$ 长为半径作 $\odot B$ ，交 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ．

（1）试判断 $\mathit{CD}$ 与 $\odot B$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$ ， $\angle \mathit{BCD}=60°$ ，求图中阴影部分的面积．

问题背景

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$的内部，作 $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{ABF}=\angle \mathit{BCG}=\angle \mathit{CDH}$，根据三角形全等的条件，易得 $\mathit{\Delta DAE}\cong \mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BCG}\cong \mathit{\Delta CDH}$，从而得到四边形 $\mathit{EFGH}$是正方形．

类比探究

如图2，在正 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，作 $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{ACF}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CF}$两两相交于 $D$， $E$， $F$三点 $(D$， $E$， $F$三点不重合）

（1） $\mathit{\Delta ABD}$， $\mathit{\Delta BCE}$， $\mathit{\Delta CAF}$是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

（2） $\mathit{\Delta DEF}$是否为正三角形？请说明理由．

（3）进一步探究发现， $\mathit{\Delta ABD}$的三边存在一定的等量关系，设 $\mathit{BD}=a$， $\mathit{AD}=b$， $\mathit{AB}=c$，请探索 $a$， $b$， $c$满足的等量关系．

如图1，已知 $\odot O$是 $\mathit{\Delta ADB}$的外接圆， $\angle \mathit{ADB}$的平分线 $\mathit{DC}$交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\odot O$于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}=\mathit{BC}$；

（2）如图2，在图1的基础上做 $\odot O$的直径 $\mathit{CF}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AF}$，过点 $A$做 $\odot O$的切线 $\mathit{AH}$，若 $\mathit{AH}//\mathit{BC}$，求 $\angle \mathit{ACF}$的度数；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{\Delta ABD}$的面积为 $6\sqrt{3}$， $\mathit{\Delta ABD}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的面积比为 $2:9$，求 $\mathit{CD}$的长．