初中数学等边三角形的性质解答题

如图， $\odot O$与等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$分别交于点 $D$， $E$， $\mathit{AE}$是直径，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{EF}$，当 $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线时，求 $\odot O$的半径 $r$与等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长 $a$之间的数量关系．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=5$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按顺时针方向旋转，得到 $\mathit{\Delta ADE}$，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <180°)$，点 $B$的对应点为点 $D$，点 $C$的对应点为点 $E$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{BE}$．

（1）如图，当 $\alpha =60°$时，延长 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

①求证： $\mathit{\Delta ABD}$是等边三角形；

②求证： $\mathit{BF}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AF}=\mathit{DF}$；

③请直接写出 $\mathit{BE}$的长；

（2）在旋转过程中，过点 $D$作 $\mathit{DG}$垂直于直线 $\mathit{AB}$，垂足为点 $G$，连接 $\mathit{CE}$，当 $\angle \mathit{DAG}=\angle \mathit{ACB}$，且线段 $\mathit{DG}$与线段 $\mathit{AE}$无公共点时，请直接写出 $\mathit{BE}+\mathit{CE}$的值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形，点 $E$在直线 $\mathit{AC}$上，连接 $\mathit{BE}$，以 $\mathit{BE}$为边作等边三角形 $\mathit{BEF}$，将线段 $\mathit{CE}$绕点 $C$顺时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{CD}$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{ED}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta ACD}$；

（2）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，求证：四边形 $\mathit{ADEF}$是平行四边形；

（3）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$延长线上时，四边形 $\mathit{ADEF}$还是平行四边形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

【发现】如图①，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$，将直角三角板的 $60°$角顶点 $D$任意放在 $\mathit{BC}$边上（点 $D$不与点 $B$、 $C$重合），使两边分别交线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$．

（1）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AE}=4$， $\mathit{BD}=2$，则 $\mathit{CF}=$　　；

（2）求证： $\mathit{\Delta EBD}\backsim \mathit{\Delta DCF}$．

【思考】若将图①中的三角板的顶点 $D$在 $\mathit{BC}$边上移动，保持三角板与边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的两个交点 $E$、 $F$都存在，连接 $\mathit{EF}$，如图②所示，问：点 $D$是否存在某一位置，使 $\mathit{ED}$平分 $\angle \mathit{BEF}$且 $\mathit{FD}$平分 $\angle \mathit{CFE}$？若存在，求出 $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BC}}$的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $O$处（其中 $\angle \mathit{MON}=\angle B)$，使两条边分别交边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$（点 $E$、 $F$均不与 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点重合），连接 $\mathit{EF}$．设 $\angle B=\alpha$，则 $\mathit{\Delta AEF}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的周长之比为　　（用含 $\alpha$的表达式表示）．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为对角线 $\mathit{AC}$上的一点，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DE}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta DCE}$；

（2）如图2，延长 $\mathit{BE}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $F$， $G$在直线 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{FG}=\mathit{FB}$．

①求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{FG}$；

②已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，若点 $E$在对角线 $\mathit{AC}$上移动，当 $\mathit{\Delta BFG}$为等边三角形时，求线段 $\mathit{DE}$的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=7.5$， $\mathit{AC}=9$， $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{81}{4}$．动点 $P$从 $A$点出发，沿 $\mathit{AB}$方向以每秒5个单位长度的速度向 $B$点匀速运动，动点 $Q$从 $C$点同时出发，以相同的速度沿 $\mathit{CA}$方向向 $A$点匀速运动，当点 $P$运动到 $B$点时， $P$、 $Q$两点同时停止运动，以 $\mathit{PQ}$为边作正 $\mathit{\Delta PQM}(P$、 $Q$、 $M$按逆时针排序），以 $\mathit{QC}$为边在 $\mathit{AC}$上方作正 $\mathit{\Delta QCN}$，设点 $P$运动时间为 $t$秒．

（1）求 $\cos A$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta PQM}$与 $\mathit{\Delta QCN}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta PQM}}=\frac{9}{5}{S}_{\mathit{\Delta QCN}}$时，求 $t$的值；

（3）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PQM}$的某个顶点 $(Q$点除外）落在 $\mathit{\Delta QCN}$的边上．

【操作发现】

（1）如图1， $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形，先将三角板中的 $60°$角与 $\angle \mathit{ACB}$重合，再将三角板绕点 $C$按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0°$且小于 $30°)$，旋转后三角板的一直角边与 $\mathit{AB}$交于点 $D$，在三角板斜边上取一点 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{CD}$，线段 $\mathit{AB}$上取点 $E$，使 $\angle \mathit{DCE}=30°$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{EF}$．

①求 $\angle \mathit{EAF}$的度数；

② $\mathit{DE}$与 $\mathit{EF}$相等吗？请说明理由；

【类比探究】

（2）如图2， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$，先将三角板的 $90°$角与 $\angle \mathit{ACB}$重合，再将三角板绕点 $C$按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0°$且小于 $45°)$，旋转后三角板的一直角边与 $\mathit{AB}$交于点 $D$，在三角板另一直角边上取一点 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{CD}$，线段 $\mathit{AB}$上取点 $E$，使 $\angle \mathit{DCE}=45°$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{EF}$．请直接写出探究结果：

① $\angle \mathit{EAF}$的度数；

②线段 $\mathit{AE}$， $\mathit{ED}$， $\mathit{DB}$之间的数量关系．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$均为等边三角形，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{CD}$，点 $F$， $G$， $H$分别为 $\mathit{DE}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CD}$中点．

（1）当 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$旋转时，如图1，则 $\mathit{\Delta FGH}$的形状为　　，说明理由；

（2）在 $\mathit{\Delta ADE}$旋转的过程中，当 $B$， $D$， $E$三点共线时，如图2，若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=2$，求线段 $\mathit{FH}$的长；

（3）在 $\mathit{\Delta ADE}$旋转的过程中，若 $\mathit{AB}=a$， $\mathit{AD}=b(a>b>0)$，则 $\mathit{\Delta FGH}$的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B+\angle D=180°$，对角线 $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{DAB}=120°$，且 $\angle B=90°$，试探究边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$与对角线 $\mathit{AC}$的数量关系并说明理由．

（2）如图2，若将（1）中的条件“ $\angle B=90°$”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）如图3，若 $\angle \mathit{DAB}=90°$，探究边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$与对角线 $\mathit{AC}$的数量关系并说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta CDE}$都是等边三角形，点 $B$、 $C$、 $E$三点在同一直线上，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）若 $A{D}^2=\mathit{DF}·\mathit{DB}$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{BF}$；

（2）若 $\angle \mathit{BAD}=90°$， $\mathit{BE}=6$．

①求 $\tan \angle \mathit{DBE}$的值；②求 $\mathit{DF}$的长．

菱形 $\mathit{ABCD}$中、 $\angle \mathit{BAD}=120°$，点 $O$为射线 $\mathit{CA}$ 上的动点，作射线 $\mathit{OM}$与直线 $\mathit{BC}$相交于点 $E$，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转 $60°$，得到射线 $\mathit{ON}$，射线 $\mathit{ON}$与直线 $\mathit{CD}$相交于点 $F$．

（1）如图①，点 $O$与点 $A$重合时，点 $E$， $F$分别在线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，请直接写出 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{CA}$三条段段之间的数量关系；

（2）如图②，点 $O$在 $\mathit{CA}$的延长线上，且 $\mathit{OA}=\frac{1}{3}\mathit{AC}$， $E$， $F$分别在线段 $\mathit{BC}$的延长线和线段 $\mathit{CD}$的延长线上，请写出 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{CA}$三条线段之间的数量关系，并说明理由；

（3）点 $O$在线段 $\mathit{AC}$上，若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BO}=2\sqrt{7}$，当 $\mathit{CF}=1$时，请直接写出 $\mathit{BE}$的长．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$按如图所示方式放置，点 $D$在 $\mathit{\Delta ABC}$内，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$和 $\mathit{CE}$，且 $\angle \mathit{DCE}=90°$．

（1）如图①，当 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$均为等边三角形时，试确定 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$三条线段的关系，并说明理由；

（2）如图②，当 $\mathit{BA}=\mathit{BC}=2\mathit{AC}$， $\mathit{DA}=\mathit{DE}=2\mathit{AE}$时，试确定 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$三条线段的关系，并说明理由；

（3）如图③，当 $\mathit{AB}:\mathit{BC}:\mathit{AC}=\mathit{AD}:\mathit{DE}:\mathit{AE}=m:n:p$时，请直接写出 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$三条线段的关系．

如图，点 $P$、 $Q$分别是等边 $\mathit{\Delta ABC}$边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上的动点（端点除外），点 $P$、点 $Q$以相同的速度，同时从点 $A$、点 $B$出发．

（1）如图1，连接 $\mathit{AQ}$、 $\mathit{CP}$．求证： $\mathit{\Delta ABQ}\cong \mathit{\Delta CAP}$；

（2）如图1，当点 $P$、 $Q$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$边上运动时， $\mathit{AQ}$、 $\mathit{CP}$相交于点 $M$， $\angle \mathit{QMC}$的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

（3）如图2，当点 $P$、 $Q$在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的延长线上运动时，直线 $\mathit{AQ}$、 $\mathit{CP}$相交于 $M$， $\angle \mathit{QMC}$的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{MN}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $M(6,0)$， $N(0$， $2\sqrt{3})$，等边 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$与原点 $O$重合， $\mathit{BC}$边落在 $x$轴正半轴上，点 $A$恰好落在线段 $\mathit{MN}$上，将等边 $\mathit{\Delta ABC}$从图1的位置沿 $x$轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$分别与线段 $\mathit{MN}$交于点 $E$， $F$（如图2所示），设 $\mathit{\Delta ABC}$平移的时间为 $t\left(s\right)$．

（1）等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为　　；

（2）在运动过程中，当 $t=$　　时， $\mathit{MN}$垂直平分 $\mathit{AB}$；

（3）若在 $\mathit{\Delta ABC}$开始平移的同时．点 $P$从 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线 $\mathit{BA}-\mathit{AC}$运动．当点 $P$运动到 $C$时即停止运动． $\mathit{\Delta ABC}$也随之停止平移．

①当点 $P$在线段 $\mathit{BA}$上运动时，若 $\mathit{\Delta PEF}$与 $\mathit{\Delta MNO}$相似．求 $t$的值；

②当点 $P$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，设 $S_{\mathit{\Delta PEF}}=S$，求 $S$与 $t$的函数关系式，并求出 $S$的最大值及此时点 $P$的坐标．

如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$于点 $E$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=\mathit{BD}$，点 $M$为 $\mathit{BC}$中点， $N$为线段 $\mathit{AM}$上的点，且 $\mathit{MB}=\mathit{MN}$．

（1）求证： $\mathit{BN}$平分 $\angle \mathit{ABE}$；

（2）若 $\mathit{BD}=1$，连接 $\mathit{DN}$，当四边形 $\mathit{DNBC}$为平行四边形时，求线段 $\mathit{BC}$的长；

（3）如图②，若点 $F$为 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{FN}$、 $\mathit{FM}$，求证： $\mathit{\Delta MFN}\backsim \mathit{\Delta BDC}$．