如图，点P、Q分别是等边ΔABC边AB、BC上的动点（端点除

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，点 $P$ 、 $Q$ 分别是等边 $ΔABC$ 边 $AB$ 、 $BC$ 上的动点（端点除外），点 $P$ 、点 $Q$ 以相同的速度，同时从点 $A$ 、点 $B$ 出发．

（1）如图1，连接 $AQ$ 、 $CP$ ．求证： $ΔABQ ≅ ΔCAP$ ；

（2）如图1，当点 $P$ 、 $Q$ 分别在 $AB$ 、 $BC$ 边上运动时， $AQ$ 、 $CP$ 相交于点 $M$ ， $∠ QMC$ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

（3）如图2，当点 $P$ 、 $Q$ 在 $AB$ 、 $BC$ 的延长线上运动时，直线 $AQ$ 、 $CP$ 相交于 $M$ ， $∠ QMC$ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

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如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ，顶点为 $P (- 1, - 4)$ ， $PB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接 $AC$ ，在 $x$ 轴下方的抛物线上存在点 $N$ ， $BN$ 与 $AC$ 的交点 $F$ 平分 $BN$ ，求点 $F$ 的坐标；

（3）将线段 $BP$ 和 $BA$ 绕点 $B$ 同时顺时针旋转相同的角度，得到线段 $BE$ ， $BD$ ，直线 $PE$ ， $AD$ 相交于点 $M$ ．

①如图2，设 $PE$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ，线段 $BE$ 与 $AD$ 交于点 $G$ ，求 $\frac{BG}{BH}$ 的值；

②连接 $OM$ ， $OM$ 的长随线段 $BP$ ， $BA$ 的旋转而发生变化，请直接写出线段 $OM$ 长度的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图1， $∠ PAQ = 90 °$ ，分别在 $∠ PAQ$ 的两边 $AP$ ， $AQ$ 上取点 $B$ ， $E$ ，使 $AB = AE$ ，点 $D$ 在 $∠ PAQ$ 的平分线 $AM$ 上， $DF ⊥ AB$ 于点 $F$ ，点 $F$ 在线段 $AB$ 上（不与点 $A$ 重合），以 $AB$ ， $AD$ 为邻边作 $▱ ABCD$ ，连接 $CF$ ， $EF$ ．

（1）猜想 $CF$ 与 $EF$ 之间的关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，连接 $CE$ 交 $AM$ 于点 $H$ ．

①求证： $AD + 2 DH = \sqrt{2} AB$ ．

②若 $AB = 9$ ， $\frac{HD}{AH} = \frac{2}{7}$ ，求线段 $BC$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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某公司去年年初投资1000万元引进先进的生产线生产某种新产品．根据对该产品的市场分析，生产每件该产品需成本60元，产品售价不超过200元 $/$ 件，且产品的年销售量 $y$ （万件）是产品售价 $x$ （元 $/$ 件）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：

产品售价 $x$ （元 $/$ 件）	$\dots$	120	140	160	180	$\dots$
销售量 $y$ （万件）	$\dots$	9	8	7	6	$\dots$

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）去年该公司是盈利还是亏损？并求出盈利最多或亏损最少时的产品售价；

（3）在（2）的前提下，若公司想使去年和今年生产的新产品共获利395万元，那么该公司今年应怎样重新确定产品售价？

题型：未知
难度：未知

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如图，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0, x > 0)$ 图象的两个交点分别为 $A (4, \frac{1}{2})$ ， $B (1, 2)$ ， $AC ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $BD ⊥ y$ 轴于点 $D$ ．

（1）根据图象直接回答：在第一象限内，当 $x$ 取何值时，一次函数值大于反比例函数值？

（2）求一次函数的解析式及 $m$ 的值；

（3） $P$ 是线段 $AB$ 上的一点，连接 $PC$ ， $PD$ ，若 $ΔPCA$ 和 $ΔPDB$ 的面积相等，求点 $P$ 的坐标．

题型：未知
难度：未知

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如图，亿隆小区内有一条南北方向的小路 $MN$ ，某快递员从小路旁的 $A$ 处出发沿南偏东 $53 °$ 方向行走 $258 m$ 将快递送至 $B$ 楼，又继续从 $B$ 楼沿南偏西 $30 °$ 方向行走 $172 m$ 将快递送至 $C$ 楼，求此时快递员到小路 $MN$ 的距离．（计算结果精确到 $1 m$ ．参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.80$ ， $\cos 53 ° \approx 0.60$ ， $\tan 53 ° \approx 1.33$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

题型：未知
难度：未知

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