初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-1(a\ne 0)$经过 $A(-1,0)$， $B(2,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）点 $P$在抛物线的对称轴上，当 $\mathit{\Delta ACP}$的周长最小时，求出点 $P$的坐标；

（3）点 $N$在抛物线上，点 $M$在抛物线的对称轴上，是否存在以点 $N$为直角顶点的 $\text{Rt}\Delta \text{DNM}$与 $\text{Rt}\Delta \text{BOC}$相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=-x^2+3x+m$的图象与 $x$轴的一个交点为 $B(4,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$轴相交于 $C$点．

（1）求 $m$的值及 $C$点坐标；

（2）在直线 $\mathit{BC}$上方的抛物线上是否存在一点 $M$，使得它与 $B$， $C$两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时 $M$点坐标；若不存在，请简要说明理由；

（3） $P$为抛物线上一点，它关于直线 $\mathit{BC}$的对称点为 $Q:$

①当四边形 $\mathit{PBQC}$为菱形时，求点 $P$的坐标；

②点 $P$的横坐标为 $t(0<t<4)$，当 $t$为何值时，四边形 $\mathit{PBQC}$的面积最大，请说明理由．

已知二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $y$轴交于点 $C(0,-6)$，与 $x$轴的一个交点坐标是 $A(-2,0)$．

（1）求二次函数的解析式，并写出顶点 $D$的坐标；

（2）将二次函数的图象沿 $x$轴向左平移 $\frac{5}{2}$个单位长度，当 $y<0$时，求 $x$的取值范围．

如图，直线 $y=-x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别相交于点 $B$、 $C$，经过 $B$、 $C$两点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的另一个交点为 $A$，顶点为 $P$，且对称轴为直线 $x=2$．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$，求 $\mathit{\Delta PBC}$的面积；

（3）连接 $\mathit{AC}$，在 $x$轴上是否存在一点 $Q$，使得以点 $P$， $B$， $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-1.0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$，顶点为 $D$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点 $D$的坐标和对称轴．

（3）探究对称轴上是否存在一点 $P$，使得以点 $P$、 $D$、 $A$为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 $P$点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=5x+5$交 $x$轴于点 $A$，交 $y$轴于点 $C$，过 $A$， $C$两点的二次函数 $y=a{x}^2+4x+c$的图象交 $x$轴于另一点 $B$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$，点 $N$是线段 $\mathit{BC}$上的动点，作 $\mathit{ND}\perp x$轴交二次函数的图象于点 $D$，求线段 $\mathit{ND}$长度的最大值；

（3）若点 $H$为二次函数 $y=a{x}^2+4x+c$图象的顶点，点 $M(4,m)$是该二次函数图象上一点，在 $x$轴、 $y$轴上分别找点 $F$， $E$，使四边形 $\mathit{HEFM}$的周长最小，求出点 $F$， $E$的坐标．

温馨提示：在直角坐标系中，若点 $P$， $Q$的坐标分别为 $P(x_1$， $y_1)$， $Q(x_2$， $y_2)$，

当 $\mathit{PQ}$平行 $x$轴时，线段 $\mathit{PQ}$的长度可由公式 $\mathit{PQ}=|x_1-x_2|$求出；

当 $\mathit{PQ}$平行 $y$轴时，线段 $\mathit{PQ}$的长度可由公式 $\mathit{PQ}=|y_1-y_2|$求出．

如图，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}$与直线 $y=2x+4$交于 $A(a,8)$、 $B$两点，点 $P$是抛物线上 $A$、 $B$之间的一个动点，过点 $P$分别作 $x$轴、 $y$轴的平行线与直线 $\mathit{AB}$交于点 $C$和点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $C$为 $\mathit{AB}$中点，求 $\mathit{PC}$的长；

（3）如图，以 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$为边构造矩形 $\mathit{PCDE}$，设点 $D$的坐标为 $(m,n)$，请求出 $m$， $n$之间的关系式．

如图，抛物线经过 $A(-1,0)$， $B(5,0)$， $C(0,-\frac{5}{2})$三点．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小，求点 $P$的坐标．

（Ⅲ）点 $M$为 $x$轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 $N$，使以 $A$， $C$， $M$， $N$四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$的直角边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=2$， $\mathit{AB}=1$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$绕点 $O$逆时针旋转 $90°$得到 $\text{Rt}\Delta \text{COD}$，抛物线 $y=-\frac{5}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $B$、 $D$两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接 $\mathit{BD}$，点 $P$是抛物线上一点，直线 $\mathit{OP}$把 $\mathit{\Delta BOD}$的周长分成相等的两部分，求点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$， $B$两点，交 $y$轴于点 $C$，对称轴是直线 $x=-3$， $B(-1,0)$， $F(0,1)$，请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）直接写出抛物线顶点 $E$的坐标，并判断 $\mathit{AC}$与 $\mathit{EF}$的位置关系，不需要说明理由．

注：抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

已知二次函数的表达式为 $y=x^2+\mathit{mx}+n$．

（1）若这个二次函数的图象与 $x$轴交于点 $A(1,0)$，点 $B(3,0)$，求实数 $m$， $n$的值；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$是有一个内角为 $30°$的直角三角形， $\angle C$为直角， $\sin A$， $\cos B$是方程 $x^2+\mathit{mx}+n=0$的两个根，求实数 $m$， $n$的值．

如图，直线 $y=-3x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$， $B$两点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=c$分别交 $y$轴的正半轴于点 $C$和第一象限的点 $P$，连接 $\mathit{PB}$，得 $\mathit{\Delta PCB}\cong \mathit{\Delta BOA}(O$为坐标原点）．若抛物线与 $x$轴正半轴交点为点 $F$，设 $M$是点 $C$， $F$间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为 $m$．

（1）直接写出点 $P$的坐标和抛物线的解析式；

（2）当 $m$为何值时， $\mathit{\Delta MAB}$面积 $S$取得最小值和最大值？请说明理由；

（3）求满足 $\angle \mathit{MPO}=\angle \mathit{POA}$的点 $M$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-\frac{9}{2}$与 $x$轴交于 $A(1,0)$、 $B(6,0)$两点， $D$是 $y$轴上一点，连接 $\mathit{DA}$，延长 $\mathit{DA}$交抛物线于点 $E$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若 $E$点在第一象限，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp x$轴于点 $F$， $\mathit{\Delta ADO}$与 $\mathit{\Delta AEF}$的面积比为 $\frac{S_{\mathit{\Delta ADO}}}{S_{\mathit{\Delta AEF}}}=\frac{1}{9}$，求出点 $E$的坐标；

（3）若 $D$是 $y$轴上的动点，过 $D$点作与 $x$轴平行的直线交抛物线于 $M$、 $N$两点，是否存在点 $D$，使 $D{A}^2=\mathit{DM}·\mathit{DN}$？若存在，请求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知二次函数： $y=a{x}^2+(2a+1)x+2(a<0)$．

（1）求证：二次函数的图象与 $x$轴有两个交点；

（2）当二次函数的图象与 $x$轴的两个交点的横坐标均为整数，且 $a$为负整数时，求 $a$的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与 $x$轴的两个交点 $A$， $B(A$在 $B$的左侧），与 $y$轴的交点 $C$及其顶点 $D$这四点画出二次函数的大致图象，同时标出 $A$， $B$， $C$， $D$的位置）；

（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点 $P$使 $\angle \mathit{PCA}=75°$？如果存在，求出点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如果抛物线 $C_1$的顶点在拋物线 $C_2$上，抛物线 $C_2$的顶点也在拋物线 $C_1$上时，那么我们称抛物线 $C_1$与 $C_2$ “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线 $C_1:y_1=\frac{1}{4}{x}^2+x$与 $C_2:y_2=a{x}^2+x+c$是“互为关联”的拋物线，点 $A$， $B$分别是抛物线 $C_1$， $C_2$的顶点，抛物线 $C_2$经过点 $D(6,-1)$．

（1）直接写出 $A$， $B$的坐标和抛物线 $C_2$的解析式；

（2）抛物线 $C_2$上是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta ABE}$是直角三角形？如果存在，请求出点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，点 $F(-6,3)$在抛物线 $C_1$上，点 $M$， $N$分别是抛物线 $C_1$， $C_2$上的动点，且点 $M$， $N$的横坐标相同，记 $\mathit{\Delta AFM}$面积为 $S_1$（当点 $M$与点 $A$， $F$重合时 $S_1=0)$， $\mathit{\Delta ABN}$的面积为 $S_2$（当点 $N$与点 $A$， $B$重合时， $S_2=0)$，令 $S=S_1+S_2$，观察图象，当 $y_1⩽y_2$时，写出 $x$的取值范围，并求出在此范围内 $S$的最大值．