已知二次函数的表达式为 y = x 2 + mx + n .
(1)若这个二次函数的图象与 x 轴交于点 A ( 1 , 0 ) ,点 B ( 3 , 0 ) ,求实数 m , n 的值;
(2)若 ΔABC 是有一个内角为 30 ° 的直角三角形, ∠ C 为直角, sin A , cos B 是方程 x 2 + mx + n = 0 的两个根,求实数 m , n 的值.
如图,四边形 ABCD 为平行四边形,连接 AC ,且 AC = 2 AB .请用尺规完成基本作图:作出 ∠ BAC 的角平分线与 BC 交于点 E .连接 BD 交 AE 于点 F ,交 AC 于点 O ,猜想线段 BF 和线段 DF 的数量关系,并证明你的猜想.(尺规作图保留作图痕迹,不写作法)
2021年是中国共产党建党100周年,某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛,从七、八年级中各随机抽取了20名教师,统计这部分教师的竞赛成绩(竞赛成绩均为整数,满分为10分,9分及以上为优秀).相关数据统计、整理如下:
抽取七年级教师的竞赛成绩(单位:分) :
6,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,10,10,10,10,10.
七八年级教师竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8.5
中位数
a
9
众数
8
b
优秀率
45 %
55 %
根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空: a = , b = ;
(2)估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数;
(3)根据以上数据分析,从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异.
计算:
(1) a ( 2 a + 3 b ) + ( a - b ) 2 ;
(2) x 2 - 9 x 2 + 2 x + 1 ÷ ( x + 3 - x 2 x + 1 ) .
在 ΔABC 中, AB = AC , D 是边 BC 上一动点,连接 AD ,将 AD 绕点 A 逆时针旋转至 AE 的位置,使得 ∠ DAE + ∠ BAC = 180 ° .
(1)如图1,当 ∠ BAC = 90 ° 时,连接 BE ,交 AC 于点 F .若 BE 平分 ∠ ABC , BD = 2 ,求 AF 的长;
(2)如图2,连接 BE ,取 BE 的中点 G ,连接 AG .猜想 AG 与 CD 存在的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接 DG , CE .若 ∠ BAC = 120 ° ,当 BD > CD , ∠ AEC = 150 ° 时,请直接写出 BD - DG CE 的值.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = x 2 + bx + c 经过 A ( 0 , - 1 ) , B ( 4 , 1 ) .直线 AB 交 x 轴于点 C , P 是直线 AB 下方抛物线上的一个动点.过点 P 作 PD ⊥ AB ,垂足为 D , PE / / x 轴,交 AB 于点 E .
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当 ΔPDE 的周长取得最大值时,求点 P 的坐标和 ΔPDE 周长的最大值;
(3)把抛物线 y = x 2 + bx + c 平移,使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点 P . M 是新抛物线上一点, N 是新抛物线对称轴上一点,直接写出所有使得以点 A , B , M , N 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 的坐标,并把求其中一个点 M 的坐标的过程写出来.