如果抛物线 $C_1$的顶点在拋物线 $C_2$上，抛物线 $C_2$的顶点也在拋物线 $C_1$上时，那么我们称抛物线 $C_1$与 $C_2$ “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线 $C_1:y_1=\frac{1}{4}{x}^2+x$与 $C_2:y_2=a{x}^2+x+c$是“互为关联”的拋物线，点 $A$， $B$分别是抛物线 $C_1$， $C_2$的顶点，抛物线 $C_2$经过点 $D(6,-1)$．

（1）直接写出 $A$， $B$的坐标和抛物线 $C_2$的解析式；

（2）抛物线 $C_2$上是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta ABE}$是直角三角形？如果存在，请求出点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，点 $F(-6,3)$在抛物线 $C_1$上，点 $M$， $N$分别是抛物线 $C_1$， $C_2$上的动点，且点 $M$， $N$的横坐标相同，记 $\mathit{\Delta AFM}$面积为 $S_1$（当点 $M$与点 $A$， $F$重合时 $S_1=0)$， $\mathit{\Delta ABN}$的面积为 $S_2$（当点 $N$与点 $A$， $B$重合时， $S_2=0)$，令 $S=S_1+S_2$，观察图象，当 $y_1⩽y_2$时，写出 $x$的取值范围，并求出在此范围内 $S$的最大值．