初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，直线 $y=x-3$交 $x$轴于点 $A$，交 $y$轴于点 $C$，点 $B$的坐标为 $(1,0)$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$经过 $A$， $B$， $C$三点，抛物线的顶点为点 $D$，对称轴与 $x$轴的交点为点 $E$，点 $E$关于原点的对称点为 $F$，连接 $\mathit{CE}$，以点 $F$为圆心， $\frac{1}{2}\mathit{CE}$的长为半径作圆，点 $P$为直线 $y=x-3$上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta BDP}$周长的最小值；

（3）若动点 $P$与点 $C$不重合，点 $Q$为 $\odot F$上的任意一点，当 $\mathit{PQ}$的最大值等于 $\frac{3}{2}\mathit{CE}$时，过 $P$， $Q$两点的直线与抛物线交于 $M$， $N$两点（点 $M$在点 $N$的左侧），求四边形 $\mathit{ABMN}$的面积．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点为 $A(4,3)$，与 $y$轴相交于点 $B(0,-5)$，对称轴为直线 $l$，点 $M$是线段 $\mathit{AB}$的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点 $M$的坐标并求直线 $\mathit{AB}$的表达式；

（3）设动点 $P$， $Q$分别在抛物线和对称轴 $l$上，当以 $A$， $P$， $Q$， $M$为顶点的四边形是平行四边形时，求 $P$， $Q$两点的坐标．

已知抛物线 $y=m{x}^2$和直线 $y=-x+b$都经过点 $M(-2,4)$，点 $O$为坐标原点，点 $P$为抛物线上的动点，直线 $y=-x+b$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点．

（1）求 $m$、 $b$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta PAM}$是以 $\mathit{AM}$为底边的等腰三角形时，求点 $P$的坐标；

（3）满足（2）的条件时，求 $\sin \angle \mathit{BOP}$的值．

如图，已知抛物线过点 $A(4,0)$， $B(-2,0)$， $C(0,-4)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在图甲中，点 $M$是抛物线 $\mathit{AC}$段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点 $M$的坐标；

（3）在图乙中，点 $C$和点 $C_1$关于抛物线的对称轴对称，点 $P$在抛物线上，且 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{CA}{C}_1$，求点 $P$的横坐标．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $B$两点，其中点 $A$， $C$的坐标分别为 $(1,0)$， $(-4,0)$，抛物线的顶点为点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $E$是直角三角形 $\mathit{ABC}$斜边 $\mathit{AB}$上的一个动点（不与 $A$， $B$重合），过点 $E$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $F$，当线段 $\mathit{FE}$的长度最大时，求点 $E$的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PEF}$是以 $\mathit{EF}$为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y_1=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B(4,0)$．

（1）求抛物线 $y_1$的函数解析式；

（2）如图①，将抛物线 $y_1$沿 $x$轴翻折得到抛物线 $y_2$，抛物线 $y_2$与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点，过点 $D$作 $\mathit{DE}//y$轴交抛物线 $y_1$于点 $E$，求线段 $\mathit{DE}$的长度的最大值；

（3）在（2）的条件下，当线段 $\mathit{DE}$处于长度最大值位置时，作线段 $\mathit{BC}$的垂直平分线交 $\mathit{DE}$于点 $F$，垂足为 $H$，点 $P$是抛物线 $y_2$上一动点， $\odot P$与直线 $\mathit{BC}$相切，且 $S_{\odot P}:S_{\mathit{\Delta DFH}}=2\pi$，求满足条件的所有点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a(x-1)(x-3)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴的正半轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．

（1）写出 $C$， $D$两点的坐标（用含 $a$的式子表示）；

（2）设 $S_{\mathit{\Delta BCD}}:S_{\mathit{\Delta ABD}}=k$，求 $k$的值；

（3）当 $\mathit{\Delta BCD}$是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2-2\sqrt{3}\mathit{ax}-9a$与坐标轴交于 $A$， $B$， $C$三点，其中 $C(0,3)$， $\angle \mathit{BAC}$的平分线 $\mathit{AE}$交 $y$轴于点 $D$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $D$的直线 $l$与射线 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$分别交于点 $M$， $N$．

（1）直接写出 $a$的值、点 $A$的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点 $P$为抛物线的对称轴上一动点，若 $\mathit{\Delta PAD}$为等腰三角形，求出点 $P$的坐标；

（3）证明：当直线 $l$绕点 $D$旋转时， $\frac{1}{\mathit{AM}}+\frac{1}{\mathit{AN}}$均为定值，并求出该定值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$、 $B(9,0)$和 $C(0,4)$， $\mathit{CD}$垂直于 $y$轴，交抛物线于点 $D$， $\mathit{DE}$垂直于 $x$轴，垂足为 $E$，直线 $l$是该抛物线的对称轴，点 $F$是抛物线的顶点．

（1）求出该二次函数的表达式及点 $D$的坐标；

（2）若 $\text{Rt}\Delta \text{AOC}$沿 $x$轴向右平移，使其直角边 $\mathit{OC}$与对称轴 $l$重合，再沿对称轴 $l$向上平移到点 $C$与点 $F$重合，得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1{O}_{1}F$，求此时 $\mathit{Rt}$△ $A_1{O}_{1}F$与矩形 $\mathit{OCDE}$重叠部分图形的面积；

（3）若 $\text{Rt}\Delta \text{AOC}$沿 $x$轴向右平移 $t$个单位长度 $(0<t⩽6)$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_2{O}_2{C}_2$， $\mathit{Rt}$△ $A_2{O}_2{C}_2$与 $\text{Rt}\Delta \text{OED}$重叠部分图形的面积记为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数表达式，并写出自变量 $t$的取值范围．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $x$轴于 $A(-3,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．点 $P$是第一象限内抛物线上的一个动点，点 $P$的横坐标为 $m$．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，垂足为点 $M$， $\mathit{PM}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$．试探究点 $P$在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $N$．请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{PN}$的长，并求出当 $m$为何值时 $\mathit{PN}$有最大值，最大值是多少？

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$的图象交 $x$轴于点 $(-1,0)$， $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$．动点 $M$从点 $A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $\mathit{AB}$方向运动，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴交直线 $\mathit{BC}$于点 $N$，交抛物线于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$，设运动的时间为 $t$秒．

（1）求二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$的表达式；

（2）连接 $\mathit{BD}$，当 $t=\frac{3}{2}$时，求 $\mathit{\Delta DNB}$的面积；

（3）在直线 $\mathit{MN}$上存在一点 $P$，当 $\mathit{\Delta PBC}$是以 $\angle \mathit{BPC}$为直角的等腰直角三角形时，求此时点 $D$的坐标；

（4）当 $t=\frac{5}{4}$时，在直线 $\mathit{MN}$上存在一点 $Q$，使得 $\angle \mathit{AQC}+\angle \mathit{OAC}=90°$，求点 $Q$的坐标．

已知：抛物线 $y=a{x}^2+4\mathit{ax}+m(a>0)$与 $x$轴的一个交点为 $A(-1,0)$

（1）求抛物线与 $x$轴的另一个交点 $B$的坐标；

（2）点 $D$是抛物线与 $y$轴的交点，点 $C$是抛物线上的一个点，且以 $\mathit{AB}$为一底的梯形 $\mathit{ABCD}$的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）点 $E$是第二象限内到 $x$轴、 $y$轴的距离比为 $5:2$的点，如果点 $E$在（2）中的抛物线上且点 $E$与点 $A$在此抛物线对称轴的同侧．问：在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta APE}$的周长最小？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4$经过 $A(-3,0)$， $B(5,-4)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求证： $\mathit{AB}$平分 $\angle \mathit{CAO}$；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点 $M$，使得 $\mathit{\Delta ABM}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的直角三角形，若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$的图象经过点 $C(0,3)$，与 $x$轴分别交于点 $A$，点 $B(3,0)$．点 $P$是直线 $\mathit{BC}$上方的抛物线上一动点．

（1）求二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$的表达式；

（2）连接 $\mathit{PO}$， $\mathit{PC}$，并把 $\mathit{\Delta POC}$沿 $y$轴翻折，得到四边形 $\mathit{POP}\text{'}C$．若四边形 $\mathit{POP}\text{'}C$为菱形，请求出此时点 $P$的坐标；

（3）当点 $P$运动到什么位置时，四边形 $\mathit{ACPB}$的面积最大？求出此时 $P$点的坐标和四边形 $\mathit{ACPB}$的最大面积．

已知抛物线与 $x$轴交于 $A(6,0)$、 $B(-\frac{5}{4}$， $0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，过抛物线上点 $M(1,3)$作 $\mathit{MN}\perp x$轴于点 $N$，连接 $\mathit{OM}$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，将 $\mathit{\Delta OMN}$沿 $x$轴向右平移 $t$个单位 $(0⩽t⩽5)$到△ $O\text{'}M\text{'}N\text{'}$的位置， $M\text{'}N\text{'}$、 $M\text{'}O\text{'}$与直线 $\mathit{AC}$分别交于点 $E$、 $F$．

①当点 $F$为 $M\text{'}O\text{'}$的中点时，求 $t$的值；

②如图2，若直线 $M\text{'}N\text{'}$与抛物线相交于点 $G$，过点 $G$作 $\mathit{GH}//M\text{'}O\text{'}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$，试确定线段 $\mathit{EH}$是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时 $t$的值；若不存在，请说明理由．