如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $B$两点，其中点 $A$， $C$的坐标分别为 $(1,0)$， $(-4,0)$，抛物线的顶点为点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $E$是直角三角形 $\mathit{ABC}$斜边 $\mathit{AB}$上的一个动点（不与 $A$， $B$重合），过点 $E$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $F$，当线段 $\mathit{FE}$的长度最大时，求点 $E$的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PEF}$是以 $\mathit{EF}$为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．