已知抛物线 y = m x 2 和直线 y = − x + b 都经过点 M ( − 2 , 4 ) ,点 O 为坐标原点,点 P 为抛物线上的动点,直线 y = − x + b 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点.
(1)求 m 、 b 的值;
(2)当 ΔPAM 是以 AM 为底边的等腰三角形时,求点 P 的坐标;
(3)满足(2)的条件时,求 sin ∠ BOP 的值.
如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点). (1)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′,请画出△A′BC′; (2)求BA边旋转到B A′位置时所扫过图形的面积.
解方程: (1); (2)
已知到直线l的距离等于a的所有点的集合是与直线l平行且距离为a的两条直线l1、l2(图①). (1)在图②的平面直角坐标系中,画出到直线的距离为1的所有点的集合的图形,并写出该图形与y轴交点的坐标; (2)试探讨在以坐标原点O为圆心,r为半径的圆上,到直线的距离为1的点的个数与r的关系; (3)如图③,若以坐标原点O为圆心,2为半径的圆上有两个点到直线的距离为1,则 b的取值范围为____________________________________________.
如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,OE⊥BC,OE=BC. (1)求∠BAC的度数. (2)将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H.求证:四边形AFHG是正方形. (3)若BD=6,CD=4,求AD的长.
如图,三角形ABC内接于圆O,AB=8,AC=6,D是AB边上的一点,P是优弧BAC的中点,连结PA,PB,PC,PD. (1)当AD的长度为多少时三角形PAD是以AD为底边的等腰三角形?并证明. (2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=,求PA的长.