如图，抛物线 $y=a(x-1)(x-3)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴的正半轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．

（1）写出 $C$， $D$两点的坐标（用含 $a$的式子表示）；

（2）设 $S_{\mathit{\Delta BCD}}:S_{\mathit{\Delta ABD}}=k$，求 $k$的值；

（3）当 $\mathit{\Delta BCD}$是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．