如图,直线 y = − 3 x + 3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A , B 两点,抛物线 y = − x 2 + bx + c 与直线 y = c 分别交 y 轴的正半轴于点 C 和第一象限的点 P ,连接 PB ,得 ΔPCB ≅ ΔBOA ( O 为坐标原点).若抛物线与 x 轴正半轴交点为点 F ,设 M 是点 C , F 间抛物线上的一点(包括端点),其横坐标为 m .
(1)直接写出点 P 的坐标和抛物线的解析式;
(2)当 m 为何值时, ΔMAB 面积 S 取得最小值和最大值?请说明理由;
(3)求满足 ∠ MPO = ∠ POA 的点 M 的坐标.
已知二次函数y=x2+2x-1.(1)写出它的顶点坐标;(2)当x取何值时,y随x的增大而增大;(3)求出图象与轴的交点坐标.
在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-x2+(m-1)x+4m的图象与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点B(0,4),已知点E(0,1).(1)求m的值及点A的坐标;(2)如图,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连结A′B、BE′.①当点E′落在该二次函数的图象上时,求AA′的长;②设AA′=n,其中0<n<2,试用含n的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;③当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标.
如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90º,∠B=∠E=30º. (1)操作发现 如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C顺时针旋转.当点D恰好落在AB边上时,填空: 线段DE与AC的位置关系是 ; 设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 ,证明你的结论; 猜想论证 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AE中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想.
已知二次函数y=a(x-m)2-2a(x-m)(a,m为常数,且a≠0).(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点;(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A,B两点,当△ABC是等腰直角三角形时,求a的值.
阅读理解:如图1,若在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E与点A,B不重合),分别连结ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:(1)如图1,若∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;拓展探究:(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,请直接写出的值.图1 图2 图3