已知二次函数：yax2(2a1)x2(a<0)．（1）求证：

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知二次函数： $y = a x^{2} + (2 a + 1) x + 2 (a < 0)$ ．

（1）求证：二次函数的图象与 $x$ 轴有两个交点；

（2）当二次函数的图象与 $x$ 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 $a$ 为负整数时，求 $a$ 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与 $x$ 轴的两个交点 $A$ ， $B (A$ 在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴的交点 $C$ 及其顶点 $D$ 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的位置）；

（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点 $P$ 使 $∠ PCA = 75 °$ ？如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

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如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

sin²A₁+sin²B₁=； sin²A₂+sin²B₂=； sin²A₃+sin²B₃=．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin²A+sin²B=．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．

题型：未知
难度：未知

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（本小题满分１4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点（0，4）和（8，0），P（t，0）是轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过点B作轴的垂线、过点A作轴的垂线，两直线相交于点D．

（1）求此抛物线的对称轴；
（2）当为何值时，点D落在抛物线上？
（3）是否存在，使得以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．