初中数学二次函数的性质解答题

在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．

（1）求、满足的关系式及的值．

（2）当时，若的函数值随的增大而增大，求的取值范围．

（3）如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $B(-1,0)$， $D(-2,5)$两点，与 $x$轴另一交点为 $A$，点 $H$是线段 $\mathit{AB}$上一动点，过点 $H$的直线 $\mathit{PQ}\perp x$轴，分别交直线 $\mathit{AD}$、抛物线于点 $Q$， $P$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{APB}=90°$，若存在，求出点 $P$的横坐标，若不存在，说明理由；

（3）连接 $\mathit{BQ}$，一动点 $M$从点 $B$出发，沿线段 $\mathit{BQ}$以每秒1个单位的速度运动到 $Q$，再沿线段 $\mathit{QD}$以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度运动到 $D$后停止，当点 $Q$的坐标是多少时，点 $M$在整个运动过程中用时 $t$最少？

两条抛物线与的顶点相同．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是抛物线在第四象限内图象上的一动点，过点作轴，为垂足，求的最大值；

（3）设抛物线的顶点为点，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-5,0)$， $B(1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $E(x,y)$为抛物线上一点，且 $-5<x<-2$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//x$轴，交抛物线的对称轴于点 $F$，作 $\mathit{EH}\perp x$轴于点 $H$，得到矩形 $\mathit{EHDF}$，求矩形 $\mathit{EHDF}$周长的最大值；

（3）如图2，点 $P$为抛物线对称轴上一点，是否存在点 $P$，使以点 $P$， $A$， $C$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴的负半轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，、两点的坐标分别为，，．点为直线下方的抛物线上的一个动点（不与、两点重合）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，连接、得到，问是否存在着这样的点，使得的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接交线段于点，点为线段的中点，过点作于点，于点，连接、，则在点的运动过程中，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(2,0)$ ， $B(6,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $E$ ．．

（1）求这个二次函数的表达式，并写出点 $E$ 的坐标；

（2）如图①， $D$ 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当 $\mathit{BD}$ 的垂直平分线恰好经过点 $C$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图②， $P$ 是该二次函数图象上的一个动点，连接 $\mathit{OP}$ ，取 $\mathit{OP}$ 中点 $Q$ ，连接 $\mathit{QC}$ ， $\mathit{QE}$ ， $\mathit{CE}$ ，当 $\mathit{\Delta CEQ}$ 的面积为12时，求点 $P$ 的坐标．

如图1，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$的坐标分别为 $(4,0)$， $(0,6)$，直线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\tan \angle \mathit{OAD}=2$，抛物线 $M_1:y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$过 $A$， $D$两点．

（1）求点 $D$的坐标和抛物线 $M_1$的表达式；

（2）点 $P$是抛物线 $M_1$对称轴上一动点，当 $\angle \mathit{CPA}=90°$时，求所有符合条件的点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $E(0,4)$，连接 $\mathit{AE}$，将抛物线 $M_1$的图象向下平移 $m(m>0)$个单位得到抛物线 $M_2$．

①设点 $D$平移后的对应点为点 $D\text{'}$，当点 $D\text{'}$恰好在直线 $\mathit{AE}$上时，求 $m$的值；

②当 $1⩽x⩽m(m>1)$时，若抛物线 $M_2$与直线 $\mathit{AE}$有两个交点，求 $m$的取值范围．

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $\mathit{OA}$ 交二次函数 $y=\frac{1}{4}{x}^2$ 的图象于点 $A$ ， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，点 $B$ 在该二次函数的图象上，设过点 $(0,m)$ （其中 $m>0)$ 且平行于 $x$ 轴的直线交直线 $\mathit{OA}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{OB}$ 于点 $N$ ，以线段 $\mathit{OM}$ 、 $\mathit{ON}$ 为邻边作矩形 $\mathit{OMPN}$ ．

（1）若点 $A$ 的横坐标为8．

①用含 $m$ 的代数式表示 $M$ 的坐标；

②点 $P$ 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 $m$ 的值；若不能，请说明理由．

（2）当 $m=2$ 时，若点 $P$ 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 $\mathit{OA}$ 的函数表达式．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴正半轴于点 $B(4,0)$，与过 $A$点的直线相交于另一点 $D(3,\frac{5}{2})$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$在线段 $\mathit{OC}$上（不与点 $O$、 $C$重合），过 $P$作 $\mathit{PN}\perp x$轴，交直线 $\mathit{AD}$于 $M$，交抛物线于点 $N$，连接 $\mathit{CM}$，求 $\mathit{\Delta PCM}$面积的最大值；

（3）若 $P$是 $x$轴正半轴上的一动点，设 $\mathit{OP}$的长为 $t$，是否存在 $t$，使以点 $M$、 $C$、 $D$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于 $B$、 $C$两点，点 $A$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ACB}=90°$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$经过 $A$， $B$两点．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一点，过点 $M$作 $\mathit{MH}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，作 $\mathit{MD}//y$轴交 $\mathit{BC}$于点 $D$，求 $\mathit{\Delta DMH}$周长的最大值．

如图，二次函数的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，抛物线过点，且顶点为，连接、、、．

（1）填空：　 　；

（2）点是抛物线上一点，点的横坐标大于1，直线交直线于点．若，求点的坐标；

（3）点在直线上，点关于直线对称的点为，点关于直线对称的点为，连接．当点在轴上时，直接写出的长．

如图，直线 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数）分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $A(-4,0)$、 $B(0,3)$，抛物线 $y=-x^2+2x+1$与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求直线 $y=\mathit{kx}+b$的函数解析式；

（2）若点 $P(x,y)$是抛物线 $y=-x^2+2x+1$上的任意一点，设点 $P$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $d$，求 $d$关于 $x$的函数解析式，并求 $d$取最小值时点 $P$的坐标；

（3）若点 $E$在抛物线 $y=-x^2+2x+1$的对称轴上移动，点 $F$在直线 $\mathit{AB}$上移动，求 $\mathit{CE}+\mathit{EF}$的最小值．

如图所示，二次函数的图象（记为抛物线与轴交于点，与轴分别交于点、，点、的横坐标分别记为，，且．

（1）若，，且过点，求该二次函数的表达式；

（2）若关于的一元二次方程的判别式△．求证：当时，二次函数的图象与轴没有交点．

（3）若，点的坐标为，，过点作直线垂直于轴，且抛物线的的顶点在直线上，连接、、，的延长线与抛物线交于点，若，求的最小值．

如图①，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点坐标分别为 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,3)$，直线 $\mathit{BE}$交 $y$轴正半轴于点 $E$．

（1）求经过 $A$、 $B$、 $C$三点的抛物线解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\angle \mathit{DBO}=\alpha$， $\angle \mathit{EBO}=\beta$，若 $\tan (\alpha -\beta )=1$，求点 $E$的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，动点 $M$从点 $C$出发以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度在直线 $\mathit{BC}$上移动（不考虑点 $M$与点 $C$、 $B$重合的情况），点 $N$为抛物线上一点，设点 $M$移动的时间为 $t$秒，在点 $M$移动的过程中，以 $E$、 $C$、 $M$、 $N$四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的 $t$值及点 $M$的个数；若不能，请说明理由．

某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 $6\mathit{cm}$ ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．

如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成 $45°$ 的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 $\mathit{ABCD}$ 时，求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形．

（3）设平移的距离为 $\mathit{xcm}(0<x⩽6+6\sqrt{2})$ ，两张纸条重叠部分的面积为 $\mathit{sc}{m}^2$ ．求 $s$ 与 $x$ 的函数关系式，并求 $s$ 的最大值．