初中数学二次函数的性质解答题

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，函数 $F_1$ 和 $F_2$ 的图象关于 $y$ 轴对称，它们与直线 $x=t(t>0)$ 分别相交于点 $P$ ， $Q$ ．

（1）如图，函数 $F_1$ 为 $y=x+1$ ，当 $t=2$ 时， $\mathit{PQ}$ 的长为 　 　；

（2）函数 $F_1$ 为 $y=\frac{3}{x}$ ，当 $\mathit{PQ}=6$ 时， $t$ 的值为 　　；

（3）函数 $F_1$ 为 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ ，

①当 $t=\frac{\sqrt{b}}{b}$ 时，求 $\mathit{\Delta OPQ}$ 的面积；

②若 $c>0$ ，函数 $F_1$ 和 $F_2$ 的图象与 $x$ 轴正半轴分别交于点 $A(5,0)$ ， $B(1,0)$ ，当 $c⩽x⩽c+1$ 时，设函数 $F_1$ 的最大值和函数 $F_2$ 的最小值的差为 $h$ ，求 $h$ 关于 $c$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $c$ 的取值范围．

在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，点，均在直线上．

（1）若抛物线与直线有交点，求的取值范围；

（2）当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值；

（3）若抛物线与线段有两个不同的交点，请直接写出的取值范围．

如图1，已知抛物线 $y=\frac{1}{a}(x-2)(x+a)(a>0)$与 $x$轴从左至右交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）若抛物线过点 $T(1,-\frac{5}{4})$，求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点 $D$，使得以 $A$、 $B$、 $D$三点为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，求 $a$的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，在（1）的条件下，点 $P$的坐标为 $(-1,1)$，点 $Q(6,t)$是抛物线上的点，在 $x$轴上，从左至右有 $M$、 $N$两点，且 $\mathit{MN}=2$，问 $\mathit{MN}$在 $x$轴上移动到何处时，四边形 $\mathit{PQNM}$的周长最小？请直接写出符合条件的点 $M$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过平行四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $B$， $D(5,2)\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为点 $E$．点 $A$在 $y$轴正半轴上，点 $B$在 $x$轴负半轴上，点 $C$在 $x$轴正半轴上，且 $\tan \angle \mathit{BAO}=\frac{1}{2}$．

（1）求二次函数的表达式，并判断点 $C$是否在该函数图象上；

（2）点 $F$是线段 $\mathit{AD}$上一点，在线段 $\mathit{AD}$下方作 $\angle \mathit{HFK}=90°$．

①当点 $F$运动时，使 $\angle \mathit{HFK}$的一边 $\mathit{FH}$始终过点 $O$，另一边 $\mathit{FK}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $N$，（不含点 $D$与 $N$重合的情形）设 $\mathit{AF}=n$， $\mathit{DN}=m$，求 $m$关于 $n$的函数关系式，并求出 $m$的取值范围．

②当 $\mathit{AF}=1$时，将 $\angle \mathit{HFK}$绕点 $F$旋转，一条边 $\mathit{FH}$交线段 $\mathit{OA}$于点 $P$，另一条边 $\mathit{FK}$交线段 $\mathit{OE}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PQ}$，以 $\mathit{PQ}$为直径作 $\odot M$，设圆心 $M$的坐标为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$之间的函数关系式，并直接写出点 $P$从点 $O$运动到点 $A$时圆心 $M$运动的路径长．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴为直线 $x=-1$ ，点 $C$ 坐标为 $(0,4)$ ．

（1）求抛物线表达式；

（2）在抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{ABP}=\angle \mathit{BCO}$ ，如果存在，求出点 $P$ 坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $P$ 在 $x$ 轴上方，点 $M$ 是直线 $\mathit{BP}$ 上方抛物线上的一个动点，求点 $M$ 到直线 $\mathit{BP}$ 的最大距离；

（4）点 $G$ 是线段 $\mathit{AC}$ 上的动点，点 $H$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的动点，点 $Q$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的动点，三个动点都不与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合，连接 $\mathit{GH}$ ， $\mathit{GQ}$ ， $\mathit{HQ}$ ，得到 $\mathit{\Delta GHQ}$ ，直接写出 $\mathit{\Delta GHQ}$ 周长的最小值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+2x+c$与 $y$轴交于点 $A(0,6)$，与 $x$轴交于点 $B(6,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点 $P$移动到抛物线的什么位置时，使得 $\angle \mathit{PAB}=75°$，求出此时点 $P$的坐标；

（3）当点 $P$从 $A$点出发沿线段 $\mathit{AB}$上方的抛物线向终点 $B$移动，在移动中，点 $P$的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点 $M$以每秒1个单位长度的速度沿 $\mathit{AO}$向终点 $O$移动，点 $P$， $M$移动到各自终点时停止．当两个动点移动 $t$秒时，求四边形 $\mathit{PAMB}$的面积 $S$关于 $t$的函数表达式，并求 $t$为何值时， $S$有最大值，最大值是多少？

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2(a\ne 0)$ 经过点 $A(-2,-4)$ 和点 $C(2,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $\mathit{BD}$ ，在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{PBC}=2\angle \mathit{BDO}$ ？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ ，点 $M$ 是线段 $\mathit{AD}$ 上的动点（不与点 $A$ ，点 $D$ 重合），将 $\mathit{\Delta CME}$ 沿 $\mathit{ME}$ 所在直线翻折，得到 $\mathit{\Delta FME}$ ，当 $\mathit{\Delta FME}$ 与 $\mathit{\Delta AME}$ 重叠部分的面积是 $\mathit{\Delta AMC}$ 面积的 $\frac{1}{4}$ 时，请直接写出线段 $\mathit{AM}$ 的长．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+\frac{3}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(3,0)$ ，过点 $A$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ ． $P$ 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp l$ 于点 $Q$ ， $M$ 是直线 $l$ 上的一点，其纵坐标为 $-m+\frac{3}{2}$ ．以 $\mathit{PQ}$ ， $\mathit{QM}$ 为边作矩形 $\mathit{PQMN}$ ．

（1）求 $b$ 的值．

（2）当点 $Q$ 与点 $M$ 重合时，求 $m$ 的值．

（3）当矩形 $\mathit{PQMN}$ 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求 $m$ 的值．

（4）当抛物线在矩形 $\mathit{PQMN}$ 内的部分所对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时，直接写出 $m$ 的取值范围．

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过 $A(2,3)$， $B(4,3)$， $C(6,-5)$三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，抛物线上一点 $D$在线段 $\mathit{AC}$的上方， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，若满足 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{AE}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，求点 $D$的坐标；

（3）如图②， $F$为抛物线顶点，过 $A$作直线 $l\perp \mathit{AB}$，若点 $P$在直线 $l$上运动，点 $Q$在 $x$轴上运动，是否存在这样的点 $P$、 $Q$，使得以 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABF}$相似，若存在，求 $P$、 $Q$的坐标，并求此时 $\mathit{\Delta BPQ}$的面积；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，函数 $y=x^2-2\mathit{ax}-1(a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标．

（2）当此函数图象经过点 $(1,2)$ 时，求此函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时 $x$ 的取值范围．

（3）当 $x⩽0$ 时，若函数 $y=x^2-2\mathit{ax}-1(a$ 为常数）的图象的最低点到直线 $y=2a$ 的距离为2，求 $a$ 的值．

（4）设 $a<0$ ， $\text{Rt}\Delta \text{EFG}$ 三个顶点的坐标分别为 $E(-1,-1)$ 、 $F(-1,a-1)$ 、 $G(0,a-1)$ ．当函数 $y=x^2-2\mathit{ax}-1(a$ 为常数）的图象与 $\mathit{\Delta EFG}$ 的直角边有交点时，交点记为点 $P$ ．过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $P\text{'}(P\text{'}$ 与 $P$ 不重合），过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $A\text{'}$ ．若 $\mathit{AA}\text{'}=2\mathit{PP}\text{'}$ ，直接写出 $a$ 的值．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(2,0)$ ， $B(6,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $E$ ．．

（1）求这个二次函数的表达式，并写出点 $E$ 的坐标；

（2）如图①， $D$ 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当 $\mathit{BD}$ 的垂直平分线恰好经过点 $C$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图②， $P$ 是该二次函数图象上的一个动点，连接 $\mathit{OP}$ ，取 $\mathit{OP}$ 中点 $Q$ ，连接 $\mathit{QC}$ ， $\mathit{QE}$ ， $\mathit{CE}$ ，当 $\mathit{\Delta CEQ}$ 的面积为12时，求点 $P$ 的坐标．

如图1，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$的坐标分别为 $(4,0)$， $(0,6)$，直线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\tan \angle \mathit{OAD}=2$，抛物线 $M_1:y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$过 $A$， $D$两点．

（1）求点 $D$的坐标和抛物线 $M_1$的表达式；

（2）点 $P$是抛物线 $M_1$对称轴上一动点，当 $\angle \mathit{CPA}=90°$时，求所有符合条件的点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $E(0,4)$，连接 $\mathit{AE}$，将抛物线 $M_1$的图象向下平移 $m(m>0)$个单位得到抛物线 $M_2$．

①设点 $D$平移后的对应点为点 $D\text{'}$，当点 $D\text{'}$恰好在直线 $\mathit{AE}$上时，求 $m$的值；

②当 $1⩽x⩽m(m>1)$时，若抛物线 $M_2$与直线 $\mathit{AE}$有两个交点，求 $m$的取值范围．

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $\mathit{OA}$ 交二次函数 $y=\frac{1}{4}{x}^2$ 的图象于点 $A$ ， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，点 $B$ 在该二次函数的图象上，设过点 $(0,m)$ （其中 $m>0)$ 且平行于 $x$ 轴的直线交直线 $\mathit{OA}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{OB}$ 于点 $N$ ，以线段 $\mathit{OM}$ 、 $\mathit{ON}$ 为邻边作矩形 $\mathit{OMPN}$ ．

（1）若点 $A$ 的横坐标为8．

①用含 $m$ 的代数式表示 $M$ 的坐标；

②点 $P$ 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 $m$ 的值；若不能，请说明理由．

（2）当 $m=2$ 时，若点 $P$ 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 $\mathit{OA}$ 的函数表达式．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴正半轴于点 $B(4,0)$，与过 $A$点的直线相交于另一点 $D(3,\frac{5}{2})$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$在线段 $\mathit{OC}$上（不与点 $O$、 $C$重合），过 $P$作 $\mathit{PN}\perp x$轴，交直线 $\mathit{AD}$于 $M$，交抛物线于点 $N$，连接 $\mathit{CM}$，求 $\mathit{\Delta PCM}$面积的最大值；

（3）若 $P$是 $x$轴正半轴上的一动点，设 $\mathit{OP}$的长为 $t$，是否存在 $t$，使以点 $M$、 $C$、 $D$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．