在平面直角坐标系中，函数 $y=x^2-2\mathit{ax}-1(a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标．

（2）当此函数图象经过点 $(1,2)$ 时，求此函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时 $x$ 的取值范围．

（3）当 $x⩽0$ 时，若函数 $y=x^2-2\mathit{ax}-1(a$ 为常数）的图象的最低点到直线 $y=2a$ 的距离为2，求 $a$ 的值．

（4）设 $a<0$ ， $\text{Rt}\Delta \text{EFG}$ 三个顶点的坐标分别为 $E(-1,-1)$ 、 $F(-1,a-1)$ 、 $G(0,a-1)$ ．当函数 $y=x^2-2\mathit{ax}-1(a$ 为常数）的图象与 $\mathit{\Delta EFG}$ 的直角边有交点时，交点记为点 $P$ ．过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $P\text{'}(P\text{'}$ 与 $P$ 不重合），过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $A\text{'}$ ．若 $\mathit{AA}\text{'}=2\mathit{PP}\text{'}$ ，直接写出 $a$ 的值．