在平面直角坐标系中，直线$y=x+2$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a<0)$经过点$A$、$B$．

（1）求$a$、$b$满足的关系式及$c$的值．

（2）当$x<0$时，若$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a<0)$的函数值随$x$的增大而增大，求$a$的取值范围．

（3）如图，当$a=-1$时，在抛物线上是否存在点$P$，使$\mathit{\Delta PAB}$的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点$P$的坐标；若不存在，请说明理由．