如图，二次函数$y=x^2+\mathit{bx}+3$的图象与$y$轴交于点$A$，过点$A$作$x$轴的平行线交抛物线于另一点$B$，抛物线过点$C(1,0)$，且顶点为$D$，连接$\mathit{AC}$、$\mathit{BC}$、$\mathit{BD}$、$\mathit{CD}$．

（1）填空：$b=$　 　；

（2）点$P$是抛物线上一点，点$P$的横坐标大于1，直线$\mathit{PC}$交直线$\mathit{BD}$于点$Q$．若$\angle \mathit{CQD}=\angle \mathit{ACB}$，求点$P$的坐标；

（3）点$E$在直线$\mathit{AC}$上，点$E$关于直线$\mathit{BD}$对称的点为$F$，点$F$关于直线$\mathit{BC}$对称的点为$G$，连接$\mathit{AG}$．当点$F$在$x$轴上时，直接写出$\mathit{AG}$的长．