初中数学二次函数的性质解答题

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且关于直线 $x=1$对称，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$，若点 $P$在 $y$轴上时， $\mathit{BP}$和 $\mathit{BC}$的夹角为 $15°$，求线段 $\mathit{CP}$的长度；

（3）当 $a⩽x⩽a+1$时，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的最小值为 $2a$，求 $a$的值．

抛物线 $y＝a{x}^2+c$与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．

（1）如图1，若 $P（1,﹣3）,B（4,0）$．

①求该抛物线的解析式；

②若D是抛物线上一点，满足 $\angle \mathit{DPO}＝\angle \mathit{POB}$，求点D的坐标；

（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时， $\frac{\text{OE}+\text{OF}}{\text{OC}}$是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_1=(x+a)(x-a-1)$，其中 $a\ne 0$．

（1）若函数 $y_1$的图象经过点 $(1,-2)$，求函数 $y_1$的表达式；

（2）若一次函数 $y_2=\mathit{ax}+b$的图象与 $y_1$的图象经过 $x$轴上同一点，探究实数 $a$， $b$满足的关系式；

（3）已知点 $P(x_0$， $m)$和 $Q(1,n)$在函数 $y_1$的图象上，若 $m<n$，求 $x_0$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与直线 $\mathit{AB}$相交于 $A$， $B$两点，其中 $A(-3,-4)$， $B(0,-1)$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{AB}$下方抛物线上的任意一点，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，求 $\mathit{\Delta PAB}$面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1(a_1\ne 0)$，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 $C$，点 $D$为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $E$，使以点 $B$， $C$， $D$， $E$为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $C_1:y=\frac{3}{2}{x}^2+6x+2$的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C₁沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C₂：直线 $l：y＝\mathit{kx}+b$经过M，N两点．

（1）结合图象，直接写出不等式 $\frac{3}{2}{x}^2+6x+2<\mathit{kx}+b$的解集；

（2）若抛物线C₂的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C₂的解析式；

（3）若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后，与（2）中的抛物线C₂存在公共点，求3﹣4q的最大值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为 A（1，﹣4），且与 x轴交于 B、 C两点，点 B的坐标为（3，0）．

（1）写出 C点的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴相交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若 $P$是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点， $\mathit{PH}\perp x$轴于点 $H$，与线段 $\mathit{BC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{PC}$．

①求线段 $\mathit{PM}$的最大值；

②当 $\mathit{\Delta PCM}$是以 $\mathit{PM}$为一腰的等腰三角形时，求点 $P$的坐标．

已知抛物线 y＝ a（ x﹣1） ²+3（ a≠0）与 y轴交于点 A（0，2），顶点为 B，且对称轴 l ₁与 x轴交于点 M

（1）求 a的值，并写出点 B的坐标；

（2）有一个动点 P从原点 O出发，沿 x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为 t秒，求 t为何值时 PA+ PB最短；

（3）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点 C，且新抛物线的对称轴 l ₂与 x轴交于点 N，过点 C作 DE∥ x轴，分别交 l ₁， l ₂于点 D、 E，若四边形 MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于点 $A(-4,0)$、 $B(2,0)$，交 $y$轴于点 $C(0,6)$，在 $y$轴上有一点 $E(0,-2)$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点 $D$为抛物线在 $x$轴负半轴上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta ADE}$面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta AEP}$为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 $P$点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，两条抛物线 $y_1=-x^2+4$， $y_2=-\frac{1}{5}{x}^2+\mathit{bx}+c$相交于 $A$， $B$两点，点 $A$在 $x$轴负半轴上，且为抛物线 $y_2$的最高点．

（1）求抛物线 $y_2$的解析式和点 $B$的坐标；

（2）点 $C$是抛物线 $y_1$上 $A$， $B$之间的一点，过点 $C$作 $x$轴的垂线交 $y_2$于点 $D$，当线段 $\mathit{CD}$取最大值时，求 $S_{\mathit{\Delta BCD}}$．

如图，已知点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,1)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$上方的抛物线上求一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$面积为1；

（3）在 $x$轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 $Q$，使 $\angle \mathit{BQC}=\angle \mathit{BAC}$？若存在，求出 $Q$点坐标；若不存在，说明理由．

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知点，，，抛物线与直线交于点．

（1）当抛物线经过点时，求它的表达式；

（2）设点的纵坐标为，求的最小值，此时抛物线上有两点，，，，且，比较与的大小；

（3）当抛物线与线段有公共点时，直接写出的取值范围．

已知，抛物线经过点，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标：　　．

（3）如图2，直线经过点，且平行与轴，若点为抛物线上任意一点（原点除外），直线交于点，过点作，交抛物线于点，求证：直线一定经过点．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 ， 两点，点 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ．

（1）求抛物线 的解析式；

（2）当点 是线段 的中点时，求点 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求 的值．