初中数学二次函数的性质解答题

如图1，抛物线 $y\mathit{＝﹣}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+4x-3$图象的顶点是 $A$，与 $x$轴交于 $B$， $C$两点，与 $y$轴交于点 $D$．点 $B$的坐标是 $(1,0)$．

（1）求 $A$， $C$两点的坐标，并根据图象直接写出当 $y>0$时 $x$的取值范围．

（2）平移该二次函数的图象，使点 $D$恰好落在点 $A$的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

如图，二次函数 $y\mathit{＝（}x+2{）}^2+m$的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 $y＝\mathit{kx}+b$的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足 $（x+2{）}^2+m\ge \mathit{kx}+b$的x的取值范围．

已知：抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c$与x轴交于点A（2，0）、B（4，0），且过点C（0，4）．

（1）求出抛物线的解析式和顶点坐标．

（2）请你求出抛物线向左平移3个单位，再向上平移1.5个单位后抛物线的解析式．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝x^2+\mathit{bx}+c$经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．

注：抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$的顶点坐标是 $（-\frac{b}{2a},\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a}）$

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{(x-m)}^2+4$图象的顶点为 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，异于顶点 $A$的点 $C(1,n)$在该函数图象上．

（1）当 $m=5$时，求 $n$的值．

（2）当 $n=2$时，若点 $A$在第一象限内，结合图象，求当 $y⩾2$时，自变量 $x$的取值范围．

（3）作直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴相交于点 $D$．当点 $B$在 $x$轴上方，且在线段 $\mathit{OD}$上时，求 $m$的取值范围．

如图，对称轴为直线 x＝2的抛物线 y＝ x ²+ bx+ c与 x轴交于点 A和点 B，与 y轴交于点 C，且点 A的坐标为（﹣1，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）直接写出 B、 C两点的坐标；

（3）求过 O， B， C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）

注：二次函数 y＝ ax ²+ bx+ c（ a≠0）的顶点坐标为（ $-\frac{b}{2a},\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a}$ ）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(3,0)$、点 $B(-1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求拋物线的解析式；

（2）过点 $D(0,3)$作直线 $\mathit{MN}//x$轴，点 $P$在直线 $\mathit{MN}$上且 $S_{\mathit{\Delta PAC}}=S_{\mathit{\Delta DBC}}$，直接写出点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{AB}$与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交于 $A(-1,0)$和 $B(2,3)$两点，抛物线与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求一次函数和二次函数的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+a$， $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+1(a$， $b$是实数， $a\ne 0)$．

（1）若函数 $y_1$的对称轴为直线 $x=3$，且函数 $y_1$的图象经过点 $(a,b)$，求函数 $y_1$的表达式．

（2）若函数 $y_1$的图象经过点 $(r,0)$，其中 $r\ne 0$，求证：函数 $y_2$的图象经过点 $(\frac{1}{r}$， $0)$．

（3）设函数 $y_1$和函数 $y_2$的最小值分别为 $m$和 $n$，若 $m+n=0$，求 $m$， $n$的值．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,2)$，对称轴为直线 $x=-2$，平行于 $x$轴的直线与抛物线交于 $B$、 $C$两点，点 $B$在对称轴左侧， $\mathit{BC}=6$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$在 $x$轴上，直线 $\mathit{CP}$将 $\mathit{\Delta ABC}$面积分成 $2:3$两部分，请直接写出 $P$点坐标．

如图抛物线 y＝ ax ²+ bx+ c经过点 A（﹣1，0），点 C（0，3），且 OB＝ OC．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点 D、 E在直线 x＝1上的两个动点，且 DE＝1，点 D在点 E的上方，求四边形 ACDE的周长的最小值．

（3）点 P为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP把四边形 CBPA的面积分为3：5两部分，求点 P的坐标．

在平面直角坐标系中，已知点 $A(1,2)$， $B(2,3)$， $C(2,1)$，直线 $y=x+m$经过点 $A$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$恰好经过 $A$， $B$， $C$三点中的两点．

（1）判断点 $B$是否在直线 $y=x+m$上，并说明理由；

（2）求 $a$， $b$的值；

（3）平移抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$，使其顶点仍在直线 $y=x+m$上，求平移后所得抛物线与 $y$轴交点纵坐标的最大值．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,2)$，对称轴为直线 $x=-2$，平行于 $x$轴的直线与抛物线交于 $B$、 $C$两点，点 $B$在对称轴左侧， $\mathit{BC}=6$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$在 $x$轴上，直线 $\mathit{CP}$将 $\mathit{\Delta ABC}$面积分成 $2:3$两部分，请直接写出 $P$点坐标．

如图，已知顶点为 C（0，﹣3）的抛物线 y＝ ax ²+ b（ a≠0）与 x轴交于 A， B两点，直线 y＝ x+ m过顶点 C和点 B．

（1）求 m的值；

（2）求函数 y＝ ax ²+ b（ a≠0）的解析式；

（3）抛物线上是否存在点 M，使得∠ MCB＝15°？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．