初中数学二次函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

（1）求抛物线的关系式及点 $M$ 的坐标；

（2）点 $E$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $\mathit{EB}$ ， $\mathit{EA}$ ，当 $\mathit{\Delta EAB}$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y=\mathit{mx}+n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D(2,0)$ ，连接 $\mathit{DM}$ ，求证： $\angle \mathit{ADM}-\angle \mathit{ACM}=45°$ ．

已知，如图，抛物线 y＝ ax ²+ bx+ c（ a≠0）的顶点为 M（1，9），经过抛物线上的两点 A（﹣3，﹣7）和 B（3， m）的直线交抛物线的对称轴于点 C．

（1）求抛物线的解析式和直线 AB的解析式．

（2）在抛物线上 A、 M两点之间的部分（不包含 A、 M两点），是否存在点 D，使得 S _{△ DAC}＝2 S _{△ DCM}？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点 P在抛物线上，点 Q在 x轴上，当以点 A， M， P， Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点 P的坐标．

已知直线y=2x+m与抛物线y=ax²+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；

（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；

（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．

（ⅰ）若 $-1⩽a⩽-\frac{1}{2}$，求线段MN长度的取值范围；

（ⅱ）求△QMN面积的最小值．

如图，抛物线 y＝ ax ²+ bx﹣2（ a≠0）与 x轴交于 A（﹣3，0）， B（1，0）两点，与 y轴交于点 C，直线 y＝﹣ x与该抛物线交于 E， F两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2） P是直线 EF下方抛物线上的一个动点，作 PH⊥ EF于点 H，求 PH的最大值．

（3）以点 C为圆心，1为半径作圆，⊙ C上是否存在点 M，使得△ BCM是以 CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出 M点坐标；若不存在，说明理由．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$和点 $B(2,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$是该抛物线上的动点，且位于 $y$轴的左侧．

①如图1，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，作 $\mathit{PE}\perp y$轴于点 $E$，当 $\mathit{PD}=2\mathit{PE}$时，求 $\mathit{PE}$的长；

②如图2，该抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\angle \mathit{ACP}=\angle \mathit{OCB}$？若存在，请求出所有点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ ax ²+ bx+2（ a≠0）与 x轴交于 A（﹣1，0）， B（3，0）两点，与 y轴交于点 C，连接 BC．

（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；

（2）点 D为抛物线对称轴上一点，连接 CD、 BD，若∠ DCB＝∠ CBD，求点 D的坐标；

（3）已知 F（1，1），若 E（ x， y）是抛物线上一个动点（其中1＜ x＜2），连接 CE、 CF、 EF，求△ CEF面积的最大值及此时点 E的坐标．

（4）若点 N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 B， C， M， N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线经过轴上的点和点及轴上的点，经过、两点的直线为．

①求抛物线的解析式．

②点从出发，在线段上以每秒1个单位的速度向运动，同时点从出发，在线段上以每秒2个单位的速度向运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为秒，求为何值时，的面积最大并求出最大值．

③过点作于点，过抛物线上一动点（不与点、重合）作直线的平行线交直线于点．若点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．

如图1，已知抛物线过点，．

（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；

（2）设点是轴上一点，当时，求点的坐标；

（3）如图2．抛物线与轴交于点，点是该抛物线上位于第二象限的点，线段交于点，交轴于点，和的面积分别为、，求的最大值．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 交 $x$ 轴于 $A(-3,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，直线 $y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$ 与抛物线交于 $A$ ， $D$ 两点，与直线 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ．若 $M(m,0)$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的动点，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $F$ ，交直线 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ，交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ．

①当点 $F$ 在直线 $\mathit{AD}$ 上方的抛物线上，且 $S_{\mathit{\Delta EFG}}=\frac{5}{9}{S}_{\mathit{\Delta OEG}}$ 时，求 $m$ 的值；

②在平面内是否在点 $P$ ，使四边形 $\mathit{EFHP}$ 为正方形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝ ax ²+ bx+2过点 A（﹣2，0）， B（2，2），与 y轴交于点 C．

（1）求抛物线 y＝ ax ²+ bx+2的函数表达式；

（2）若点 D在抛物线 y＝ ax ²+ bx+2的对称轴上，求△ ACD的周长的最小值；

（3）在抛物线 y＝ ax ²+ bx+2的对称轴上是否存在点 P，使△ ACP是直角三角形？若存在直接写出点 P的坐标，若不存在，请说明理由．

如图所示，已知抛物线 $y＝a（x+3\mathit{）（}x﹣1\mathit{）（}a\ne 0）$，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线 $y=-\sqrt{3}+b$与抛物线的另一个交点为D．

（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；

（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

如图，抛物线 $C_1:y=x^2-2x$与抛物线 $C_2:y=a{x}^2+\mathit{bx}$开口大小相同、方向相反，它们相交于 $O$， $C$两点，且分别与 $x$轴的正半轴交于点 $B$，点 $A$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$．

（1）求抛物线 $C_2$的解析式；

（2）在抛物线 $C_2$的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小？若存在，求出点 $P$的坐标，若不存在，说明理由；

（3） $M$是直线 $\mathit{OC}$上方抛物线 $C_2$上的一个动点，连接 $\mathit{MO}$， $\mathit{MC}$， $M$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta MOC}$面积最大？并求出最大面积．

如图①，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点坐标分别为 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,3)$，直线 $\mathit{BE}$交 $y$轴正半轴于点 $E$．

（1）求经过 $A$、 $B$、 $C$三点的抛物线解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\angle \mathit{DBO}=\alpha$， $\angle \mathit{EBO}=\beta$，若 $\tan (\alpha -\beta )=1$，求点 $E$的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，动点 $M$从点 $C$出发以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度在直线 $\mathit{BC}$上移动（不考虑点 $M$与点 $C$、 $B$重合的情况），点 $N$为抛物线上一点，设点 $M$移动的时间为 $t$秒，在点 $M$移动的过程中，以 $E$、 $C$、 $M$、 $N$四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的 $t$值及点 $M$的个数；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$和点 $B(4,0)$，且与 $y$轴相交于点 $C$．点 $D$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B$， $C$重合），设点 $D$的横坐标为 $t$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//y$轴交抛物线于点 $E$，点 $F$在 $\mathit{DE}$的延长线上，且 $\mathit{EF}=\mathit{DE}$，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp$直线 $\mathit{BC}$，垂足为点 $G$．

（1）求此抛物线的解析式和点 $C$的坐标；

（2）设 $\mathit{\Delta DFG}$的周长为 $L$，求 $L$关于 $t$的函数关系式；

（3）直线 $m$经过点 $C$，且直线 $m//x$轴，点 $P$是直线 $m$上任意一点，过点 $P$分别作 $\mathit{PQ}\perp$直线 $\mathit{BC}$， $\mathit{PR}\perp x$轴，垂足分别为点 $Q$， $R$，若以三点 $P$， $Q$， $R$为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点 $P$的坐标．