在平面直角坐标系中，抛物线y13x2bxc交x轴于A(3,0

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $A (- 3, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，直线 $y = \frac{3}{4} x + \frac{9}{4}$ 与抛物线交于 $A$ ， $D$ 两点，与直线 $BC$ 交于点 $E$ ．若 $M (m, 0)$ 是线段 $AB$ 上的动点，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $F$ ，交直线 $AD$ 于点 $G$ ，交直线 $BC$ 于点 $H$ ．

①当点 $F$ 在直线 $AD$ 上方的抛物线上，且 $S_{ΔEFG} = \frac{5}{9} S_{ΔOEG}$ 时，求 $m$ 的值；

②在平面内是否在点 $P$ ，使四边形 $EFHP$ 为正方形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ B = ∠ C$ ，过 $BC$ 的中点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ ， $DF ⊥ AC$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ．

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（1）求抛物线和直线 $BC$ 的表达式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一个动点．

①如图1，若点 $P$ 在第一象限内，连接 $PA$ ，交直线 $BC$ 于点 $D$ ．设 $ΔPDC$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔADC$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ．点 $Q$ 是对称轴 $l$ 上的一个动点，是否存在以点 $E$ ， $F$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $P$ ， $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图1，在等腰直角三角形 $ADC$ 中， $∠ ADC = 90 °$ ， $AD = 4$ ．点 $E$ 是 $AD$ 的中点，以 $DE$ 为边作正方形 $DEFG$ ，连接 $AG$ ， $CE$ ．将正方形 $DEFG$ 绕点 $D$ 顺时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ．

（1）如图2，在旋转过程中，

①判断 $ΔAGD$ 与 $ΔCED$ 是否全等，并说明理由；

②当 $CE = CD$ 时， $AG$ 与 $EF$ 交于点 $H$ ，求 $GH$ 的长．

（2）如图3，延长 $CE$ 交直线 $AG$ 于点 $P$ ．

①求证： $AG ⊥ CP$ ；

②在旋转过程中，线段 $PC$ 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

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