初中数学二次函数的性质试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(0,4)$三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）将（1）中的抛物线向下平移 $\frac{15}{4}$个单位长度，再向左平移 $h(h>0)$个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点 $D\text{'}$在 $\mathit{\Delta ABC}$内，求 $h$的取值范围；

（3）点 $P$为线段 $\mathit{BC}$上一动点（点 $P$不与点 $B$， $C$重合），过点 $P$作 $x$轴的垂线交（1）中的抛物线于点 $Q$，当 $\mathit{\Delta PQC}$与 $\mathit{\Delta ABC}$相似时，求 $\mathit{\Delta PQC}$的面积．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(8,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $C$是抛物线与 $y$轴的交点，连接 $\mathit{BC}$，设点 $P$是抛物线上在第一象限内的点， $\mathit{PD}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $D$．

①是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{PD}$的长度最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

②当 $\mathit{\Delta PDC}$与 $\mathit{\Delta COA}$相似时，求点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{2}{3}{x}^2-\frac{2}{3}x-4$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求点 $A$， $B$， $C$的坐标；

（2）点 $P$从 $A$点出发，在线段 $\mathit{AB}$上以每秒2个单位长度的速度向 $B$点运动，同时，点 $Q$从 $B$点出发，在线段 $\mathit{BC}$上以每秒1个单位长度的速度向 $C$点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为 $t$秒，求运动时间 $t$为多少秒时， $\mathit{\Delta PBQ}$的面积 $S$最大，并求出其最大面积；

（3）在（2）的条件下，当 $\mathit{\Delta PBQ}$面积最大时，在 $\mathit{BC}$下方的抛物线上是否存在点 $M$，使 $\mathit{\Delta BMC}$的面积是 $\mathit{\Delta PBQ}$面积的1.6倍？若存在，求点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与直线 $y=x+1$相交于 $A(-1,0)$， $B(4,m)$两点，且抛物线经过点 $C(5,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是抛物线上的一个动点（不与点 $A$、点 $B$重合），过点 $P$作直线 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$．

①当 $\mathit{PE}=2\mathit{ED}$时，求 $P$点坐标；

②是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta BEC}$为等腰三角形？若存在请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+2$与 $x$轴交于点 $A$， $B$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）试求 $A$， $B$， $C$的坐标；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$绕 $\mathit{AB}$中点 $M$旋转 $180°$，得到 $\mathit{\Delta BAD}$．

①求点 $D$的坐标；

②判断四边形 $\mathit{ADBC}$的形状，并说明理由；

（3）在该抛物线对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BMP}$与 $\mathit{\Delta BAD}$相似？若存在，请直接写出所有满足条件的 $P$点的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=-x^2+2x+n$经过点 $M(-1,0)$，顶点为 $C$．

（1）求点 $C$的坐标；

（2）设直线 $y=2x$与抛物线交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧）．

①在抛物线的对称轴上是否存在点 $G$．使 $\angle \mathit{AGC}=\angle \mathit{BGC}$？若存在，求出点 $G$的坐标；若不存在，请说明理由；

②点 $P$在直线 $y=2x$上，点 $Q$在抛物线上，当以 $O$， $M$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形时，求点 $Q$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3(a\ne 0)$的顶点为 $E$，该抛物线与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{BO}=\mathit{OC}=3\mathit{AO}$，直线 $y=-\frac{1}{3}x+1$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明： $\mathit{\Delta DBO}\backsim \mathit{\Delta EBC}$；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 $P$点坐标，若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3a(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A$， $B$．与 $y$轴交于点 $C$．连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．已知 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于 $x$轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $P$， $Q$两点．过 $P$， $Q$向 $x$轴作垂线，垂足分别为 $G$， $H$．若四边形 $\mathit{PGHQ}$为正方形，求正方形的边长；

（3）如图2，平行于 $y$轴的直线交抛物线于点 $M$，交 $x$轴于点 $N$ $(2,0)$．点 $D$是抛物线上 $A$， $M$之间的一动点，且点 $D$不与 $A$， $M$重合，连接 $\mathit{DB}$交 $\mathit{MN}$于点 $E$．连接 $\mathit{AD}$并延长交 $\mathit{MN}$于点 $F$．在点 $D$运动过程中， $3\mathit{NE}+\mathit{NF}$是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C(0,-2)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $D$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，记 $\mathit{\Delta BDE}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ABE}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，过点 $O$ 作直线 $l//\mathit{BC}$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为直线 $l$ 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点 $P$ ， $Q$ ，使 $\mathit{\Delta PQB}\backsim \mathit{\Delta CAB}$ ．若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-3,0)$， $B(-2,3)$， $C(0,3)$，其顶点为 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $M(1,m)$，当 $\mathit{MB}+\mathit{MD}$的值最小时，求 $m$的值；

（3）若 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta APC}$的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $N$， $E$为直线 $\mathit{AC}$上任意一点，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{ND}$交抛物线于点 $F$，以 $N$， $D$， $E$， $F$为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 $E$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴相交于点 $A(0,3)$，与 $x$正半轴相交于点 $B$，对称轴是直线 $x=1$

（1）求此抛物线的解析式以及点 $B$的坐标．

（2）动点 $M$从点 $O$出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $x$轴正方向运动，同时动点 $N$从点 $O$出发，以每秒3个单位长度的速度沿 $y$轴正方向运动，当 $N$点到达 $A$点时， $M$、 $N$同时停止运动．过动点 $M$作 $x$轴的垂线交线段 $\mathit{AB}$于点 $Q$，交抛物线于点 $P$，设运动的时间为 $t$秒．

①当 $t$为何值时，四边形 $\mathit{OMPN}$为矩形．

②当 $t>0$时， $\mathit{\Delta BOQ}$能否为等腰三角形？若能，求出 $t$的值；若不能，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-\frac{3}{2}x-2(a\ne 0)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，已知 $B$点坐标为 $(4,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点 $M$是线段 $\mathit{BC}$下方的抛物线上一点，求 $\mathit{\Delta MBC}$的面积的最大值，并求出此时 $M$点的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $C_1:y=m{x}^2+n(m\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴的负半轴交于点 $C$，其中 $A(-1,0)$， $C(0,-1)$．

（1）求抛物线 $C_1$及直线 $\mathit{AC}$的解析式．

（2）沿直线 $\mathit{AC}$由 $A$至 $C$ 的方向平移抛物线 $C_1$，得到新的抛物线 $C_2$， $C_2$上的点 $D$为 $C_1$上的点 $C$的对应点，若抛物线 $C_2$恰好经过点 $B$，同时与 $x$轴交于另一点 $E$，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{DE}$，试判断 $\mathit{\Delta ODE}$的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若 $P$为线段 $\mathit{OE}$（不含端点）上一动点，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{DE}$于 $F$， $\mathit{PG}\perp \mathit{OD}$于点 $G$，设 $\mathit{PF}=h_1$， $\mathit{PG}=h_2$．试判断 $h_1·h_2$的值是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时点 $P$的坐标；如不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点，顶点为 $D(0,4)$， $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$，设点 $F(m,0)$是 $x$轴的正半轴上一点，将抛物线 $C$绕点 $F$旋转 $180°$，得到新的抛物线 $C\text{'}$．

（1）求抛物线 $C$的函数表达式；

（2）若抛物线 $C\text{'}$与抛物线 $C$在 $y$轴的右侧有两个不同的公共点，求 $m$的取值范围．

（3）如图2， $P$是第一象限内抛物线 $C$上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 $P$在抛物线 $C\text{'}$上的对应点 $P\text{'}$，设 $M$是 $C$上的动点， $N$是 $C\text{'}$上的动点，试探究四边形 $\mathit{PMP}\text{'}N$能否成为正方形？若能，求出 $m$的值；若不能，请说明理由．

如图，已知两直线 $l_1$， $l_2$分别经过点 $A(1,0)$，点 $B(-3,0)$，且两条直线相交于 $y$轴的正半轴上的点 $C$，当点 $C$的坐标为 $(0,\sqrt{3})$时，恰好有 $l_1\perp l_2$，经过点 $A$、 $B$、 $C$的抛物线的对称轴与 $l_1$、 $l_2$、 $x$轴分别交于点 $G$、 $E$、 $F$， $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）试说明 $\mathit{DG}$与 $\mathit{DE}$的数量关系？并说明理由；

（3）若直线 $l_2$绕点 $C$旋转时，与抛物线的另一个交点为 $M$，当 $\mathit{\Delta MCG}$为等腰三角形时，请直接写出点 $M$的坐标．