如图,抛物线 与 轴交于 , 两点,与 轴交于点 ,点 与点 关于 轴对称.
(1)求点 、 、 的坐标.
(2)求直线 的解析式.
(3)在直线 下方的抛物线上是否存在一点 ,使 的面积最大?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,矩形 的顶点 , 分别在 轴, 轴的正半轴上,且 , ,若抛物线经过 , 两点,且顶点在 边上,对称轴交 于点 ,点 , 的坐标分别为 , .
(1)求抛物线的解析式;
(2)猜想 的形状并加以证明;
(3)点 在对称轴右侧的抛物线上,点 在 轴上,请问是否存在以点 , , , 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图1(注:与图2完全相同),二次函数 的图象与 轴交于 , 两点,与 轴交于点 .
(1)求该二次函数的解析式;
(2)设该抛物线的顶点为 ,求 的面积(请在图1中探索);
(3)若点 , 同时从 点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿 , 边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,当 , 运动到 秒时, 沿 所在的直线翻折,点 恰好落在抛物线上 点处,请直接判定此时四边形 的形状,并求出 点坐标(请在图2中探索).
如图,在平面直角坐标系中,四边形 是以 为直径的 的内接四边形,点 , 在 轴上, 是边长为2的等边三角形,过点 作直线 与 轴垂直,交 于点 ,垂足为点 ,且点 平分 .
(1)求过 , , 三点的抛物线的解析式;
(2)求证:四边形 是菱形;
(3)请问在抛物线上是否存在一点 ,使得 的面积等于定值5?若存在,请求出所有的点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知抛物线 经过 , 两点,与 轴的另一个交点为 ,顶点为 ,连接 .
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点 为该抛物线上一动点(与点 、 不重合),设点 的横坐标为 .
①当点 在直线 的下方运动时,求 的面积的最大值;
②该抛物线上是否存在点 ,使得 ?若存在,求出所有点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图1,抛物线 交 轴于点 和点 .
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)如图2,该抛物线与 轴交于点 ,顶点为 ,点 在该抛物线上.
①求四边形 的面积;
②点 是线段 上的动点(点 不与点 、 重合),过点 作 轴交该抛物线于点 ,连接 、 ,当 是直角三角形时,求出所有满足条件的点 的坐标.
抛物线 经过点 和点 .
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)该抛物线与直线 相交于 、 两点,点 是抛物线上的动点且位于 轴下方,直线 轴,分别与 轴和直线 交于点 、 .
①连接 、 ,如图1,在点 运动过程中, 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;
②连接 ,过点 作 ,垂足为点 ,如图2,是否存在点 ,使得 与 相似?若存在,求出满足条件的点 的坐标;若不存在,说明理由.
如图1,抛物线 与 轴交于点 、 ,与 轴交于点 ,点 是抛物线上的动点,连接 、 , 与 轴交于点 .
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)若点 的坐标为 ,请求出此时 的面积;
(3)过点 作 轴的平行线交 轴于点 ,交直线 于点 ,如图2.
①若 ,求证: ;
② 能否为等腰三角形?若能,请求出此时点 的坐标;若不能,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 交 轴于 , 两点,交 轴于点 , .
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 是线段 上任意一点,过 作直线 轴于点 ,交抛物线于点 ,求线段 的最大值;
(3)点 是抛物线上任意一点,连接 ,以 为边作正方形 ,是否存在点 使点 恰好落在对称轴上?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图1,对称轴为直线 的抛物线经过 、 两点,抛物线与 轴的另一交点为
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点 为第一象限内抛物线上的一点,设四边形 的面积为 ,求 的最大值;
(3)如图2,若 是线段 上一动点,在 轴是否存在这样的点 ,使 为等腰三角形且 为直角三角形?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中, , , ,点 的坐标为 .抛物线 经过 、 两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 是直线 上方抛物线上的一点,过点 作 垂直 轴于点 ,交线段 于点 ,使 .
①求点 的坐标;
②在直线 上是否存在点 ,使 为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知抛物线 与 轴分别交于原点 和点 ,与对称轴 交于点 .矩形 的边 在 轴正半轴上,且 ,边 , 与抛物线分别交于点 , .当矩形 沿 轴正方向平移,点 , 位于对称轴 的同侧时,连接 ,此时,四边形 的面积记为 ;点 , 位于对称轴 的两侧时,连接 , ,此时五边形 的面积记为 .将点 与点 重合的位置作为矩形 平移的起点,设矩形 平移的长度为 .
(1)求出这条抛物线的表达式;
(2)当 时,求 的值;
(3)当矩形 沿着 轴的正方向平移时,求 关于 的函数表达式,并求出 为何值时, 有最大值,最大值是多少?
如图,抛物线 经过 , , 三点, 为直线 上方抛物线上一动点, 于 .
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,求线段 长度的最大值;
(3)如图2,设 的中点为 ,连接 , ,是否存在点 ,使得 中有一个角与 相等?若存在,求点 的横坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知抛物线 经过点 , , .
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若以点 为圆心的圆与直线 相切于点 ,求切点 的坐标;
(3)若点 在 轴上,点 在抛物线上,是否存在以点 , , , 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点 的坐标;若不存在,请说明理由.