初中数学二次函数的性质试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{OA}=2$， $\mathit{OB}=8$， $\mathit{OC}=6$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $M$从 $A$点出发，在线段 $\mathit{AB}$上以每秒3个单位长度的速度向 $B$点运动，同时，点 $N$从 $B$出发，在线段 $\mathit{BC}$上以每秒1个单位长度的速度向 $C$点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当 $\mathit{\Delta MBN}$存在时，求运动多少秒使 $\mathit{\Delta MBN}$的面积最大，最大面积是多少？

（3）在（2）的条件下， $\mathit{\Delta MBN}$面积最大时，在 $\mathit{BC}$上方的抛物线上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BPC}$的面积是 $\mathit{\Delta MBN}$面积的9倍？若存在，求点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(0$、 $-4)$与 $x$轴交于另一点 $C$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图， $P$是第一象限内抛物线上一点，且 $S_{\mathit{\Delta PBO}}=S_{\mathit{\Delta PBC}}$，求证： $\mathit{AP}//\mathit{BC}$；

（3）在抛物线上是否存在点 $D$，直线 $\mathit{BD}$交 $x$轴于点 $E$，使 $\mathit{\Delta ABE}$与以 $A$， $B$， $C$， $E$中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $C_1:y=x^2+\mathit{ax}$与 $C_2:y=-x^2+\mathit{bx}$相交于点 $O$、 $C$， $C_1$与 $C_2$分别交 $x$轴于点 $B$、 $A$，且 $B$为线段 $\mathit{AO}$的中点．

（1）求 $\frac{a}{b}$的值；

（2）若 $\mathit{OC}\perp \mathit{AC}$，求 $\mathit{\Delta OAC}$的面积；

（3）抛物线 $C_2$的对称轴为 $l$，顶点为 $M$，在（2）的条件下：

①点 $P$为抛物线 $C_2$对称轴 $l$上一动点，当 $\mathit{\Delta PAC}$的周长最小时，求点 $P$的坐标；

②如图2，点 $E$在抛物线 $C_2$上点 $O$与点 $M$之间运动，四边形 $\mathit{OBCE}$的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于原点及点 $A$，且经过点 $B(4,8)$，对称轴为直线 $x=-2$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设直线 $y=\mathit{kx}+4$与抛物线两交点的横坐标分别为 $x_1$， $x_2(x_1<x_2)$，当 $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{1}{2}$时，求 $k$的值；

（3）连接 $\mathit{OB}$，点 $P$为 $x$轴下方抛物线上一动点，过点 $P$作 $\mathit{OB}$的平行线交直线 $\mathit{AB}$于点 $Q$，当 $S_{\mathit{\Delta POQ}}:S_{\mathit{\Delta BOQ}}=1:2$时，求出点 $P$的坐标．

（坐标平面内两点 $M(x_1$， $y_1)$， $N(x_2$， $y_2)$之间的距离 $\mathit{MN}=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2})$

已知抛物线 $y=a{(x-1)}^2$过点 $(3,1)$， $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $B$、 $C$均在抛物线上，其中点 $B(0,\frac{1}{4})$，且 $\angle \mathit{BDC}=90°$，求点 $C$的坐标；

（3）如图，直线 $y=\mathit{kx}+4-k$与抛物线交于 $P$、 $Q$两点．

①求证： $\angle \mathit{PDQ}=90°$；

②求 $\mathit{\Delta PDQ}$面积的最小值．

如图，已知抛物线交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于 $C$点， $A$点坐标为 $(-1,0)$， $\mathit{OC}=2$， $\mathit{OB}=3$，点 $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$为坐标平面内一点，以 $B$、 $C$、 $D$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形，求 $P$点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点 $M_1$、 $M_2$、 $M_3$使得△ $M_1\mathit{BC}$、△ $M_2\mathit{BC}$、△ $M_3\mathit{BC}$的面积均为定值 $S$，求出定值 $S$及 $M_1$、 $M_2$、 $M_3$这三个点的坐标．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$与 $x$轴交于点 $A(-3,0)$、 $B(1,0)$，交 $y$轴于点 $N$，点 $M$为抛物线的顶点，对称轴与 $x$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $\mathit{AM}$，点 $E$是线段 $\mathit{AM}$上方抛物线上一动点， $\mathit{EF}\perp \mathit{AM}$于点 $F$，过点 $E$作 $\mathit{EH}\perp x$轴于点 $H$，交 $\mathit{AM}$于点 $D$．点 $P$是 $y$轴上一动点，当 $\mathit{EF}$取最大值时：

①求 $\mathit{PD}+\mathit{PC}$的最小值；

②如图2， $Q$点为 $y$轴上一动点，请直接写出 $\mathit{DQ}+\frac{1}{4}\mathit{OQ}$的最小值．

如图，已知直线 $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$相交于 $A(-1,0)$， $B(4,m)$两点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $y$轴于点 $C(0,-\frac{3}{2})$，交 $x$轴正半轴于 $D$点，抛物线的顶点为 $M$．

（1）求抛物线的解析式及点 $M$的坐标；

（2）设点 $P$为直线 $\mathit{AB}$下方的抛物线上一动点，当 $\mathit{\Delta PAB}$的面积最大时，求此时 $\mathit{\Delta PAB}$的面积及点 $P$的坐标；

（3）点 $Q$为 $x$轴上一动点，点 $N$是抛物线上一点，当 $\mathit{\Delta QMN}\backsim \mathit{\Delta MAD}$（点 $Q$与点 $M$对应），求 $Q$点坐标．

如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点 $(2,1)$在二次函数的图象上，过点 $F(0,1)$作 $x$轴的平行线交二次函数的图象于 $M$、 $N$两点．

（1）求二次函数的表达式；

（2） $P$为平面内一点，当 $\mathit{\Delta PMN}$是等边三角形时，求点 $P$的坐标；

（3）在二次函数的图象上是否存在一点 $E$，使得以点 $E$为圆心的圆过点 $F$和点 $N$，且与直线 $y=-1$相切．若存在，求出点 $E$的坐标，并求 $\odot E$的半径；若不存在，说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$，其中 $2a=b>0>c$，且 $a+b+c=0$．

（1） 直接写出关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$的一个根；

（2） 证明： 抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点 $A$在第三象限；

（3） 直线 $y=x+m$与 $x$， $y$轴分别相交于 $B$， $C$两点， 与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$相交于 $A$， $D$两点 ． 设抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的对称轴与 $x$轴相交于 $E$． 如果在对称轴左侧的抛物线上存在点 $F$，使得 $\mathit{\Delta ADF}$与 $\mathit{\Delta BOC}$相似， 并且 $S_{\mathit{\Delta ADF}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ADE}}$，求此时抛物线的表达式 ．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，规定：抛物线 $y=a{(x-h)}^2+k$的伴随直线为 $y=a(x-h)+k$．例如：抛物线 $y=2{(x+1)}^2-3$的伴随直线为 $y=2(x+1)-3$，即 $y=2x-1$．

（1）在上面规定下，抛物线 $y={(x+1)}^2-4$的顶点坐标为　            　，伴随直线为　　                ，抛物线 $y={(x+1)}^2-4$与其伴随直线的交点坐标为　         　和　         　；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线 $y=m{(x-1)}^2-4m$与其伴随直线相交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $x$轴交于点 $C$， $D$．

①若 $\angle \mathit{CAB}=90°$，求 $m$的值；

②如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一个动点， $\mathit{\Delta PBC}$的面积记为 $S$，当 $S$取得最大值 $\frac{27}{4}$时，求 $m$的值．

如图，矩形 $\mathit{OABC}$的两边在坐标轴上，点 $A$的坐标为 $(10,0)$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$过点 $B$， $C$两点，且与 $x$轴的一个交点为 $D(-2,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{CB}$上的动点，设 $\mathit{CP}=t(0<t<10)$．

（1）请直接写出 $B$、 $C$两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{BC}$，交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，当 $t$为何值时， $\angle \mathit{PBE}=\angle \mathit{OCD}$？

（3）点 $Q$是 $x$轴上的动点，过点 $P$作 $\mathit{PM}//\mathit{BQ}$，交 $\mathit{CQ}$于点 $M$，作 $\mathit{PN}//\mathit{CQ}$，交 $\mathit{BQ}$于点 $N$，当四边形 $\mathit{PMQN}$为正方形时，请求出 $t$的值．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其对称轴交抛物线于点 $D$，交 $x$轴于点 $E$，已知 $\mathit{OB}=\mathit{OC}=6$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$， $F$为抛物线上一动点，当 $\angle \mathit{FAB}=\angle \mathit{EDB}$时，求点 $F$的坐标；

（3）平行于 $x$轴的直线交抛物线于 $M$、 $N$两点，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作菱形 $\mathit{MPNQ}$，当点 $P$在 $x$轴上，且 $\mathit{PQ}=\frac{1}{2}\mathit{MN}$时，求菱形对角线 $\mathit{MN}$的长．

已知二次函数 $y=a{x}^2+2x+c(a\ne 0)$的图象与 $x$轴的交于 $A$、 $B(1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$，

（1）求二次函数的表达式及 $A$点坐标；

（2） $D$是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点 $D$到直线 $\mathit{AC}$的距离取得最大值时点 $D$的坐标；

（3） $M$是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 $N$，使以 $M$、 $N$、 $B$、 $O$为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点 $N$的坐标（不写求解过程）．

已知点 $A(-1,1)$、 $B(4,6)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$上，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $F$的坐标为 $(0$， $m\left)\right(m>2)$，直线 $\mathit{AF}$交抛物线于另一点 $G$，过点 $G$作 $x$轴的垂线，垂足为 $H$．设抛物线与 $x$轴的正半轴交于点 $E$，连接 $\mathit{FH}$、 $\mathit{AE}$，求证： $\mathit{FH}//\mathit{AE}$；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $C$、 $D$两点．点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$个单位长度；同时点 $Q$从原点 $O$出发，沿 $x$轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点 $M$是直线 $\mathit{PQ}$与抛物线的一个交点，当运动到 $t$秒时， $\mathit{QM}=2\mathit{PM}$，直接写出 $t$的值．