初中数学二次函数的性质试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C(0,-2)$， $\mathit{OB}=4\mathit{OA}$， $\tan \angle \mathit{BCO}=2$．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$、 $N$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AB}$上的动点，点 $M$从点 $B$出发以每秒 $\frac{\sqrt{5}}{2}$个单位的速度向点 $C$运动，同时点 $N$从点 $A$出发以每秒2个单位的速度向点 $B$运动，当点 $M$、 $N$中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点 $M$作 $\mathit{MP}\perp x$轴于点 $E$，交抛物线于点 $P$．设点 $M$、点 $N$的运动时间为 $t\left(s\right)$，当 $t$为多少时， $\mathit{\Delta PNE}$是等腰三角形？

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形 $\mathit{ABPC}$的面积最大时，求点 $P$的坐标和四边形 $\mathit{ABPC}$的最大面积．

（3）直线 $l$经过 $A$、 $C$两点，点 $Q$在抛物线位于 $y$轴左侧的部分上运动，直线 $m$经过点 $B$和点 $Q$，是否存在直线 $m$，使得直线 $l$、 $m$与 $x$轴围成的三角形和直线 $l$、 $m$与 $y$轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 $m$的解析式，若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5$ 经过 $A(-5,0)$ ， $B(-4,-3)$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为该抛物线上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

①当点 $P$ 在直线 $\mathit{BC}$ 的下方运动时，求 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCD}$ ？若存在，求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线与 $x$轴交于点 $A(-5,0)$和点 $B(3,0)$．与 $y$轴交于点 $C(0,5)$．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿 $x$轴方向平移，与 $y$轴平行的一组对边交抛物线于点 $P$和 $Q$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $M$和 $N$．交 $x$轴于点 $E$和 $F$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $M$和 $N$都在线段 $\mathit{AC}$上时，连接 $\mathit{MF}$，如果 $\sin \angle \mathit{AMF}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，求点 $Q$的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，当以点 $P$， $Q$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形时，求点 $M$的坐标．

如图，在直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$是平行四边形，经过 $A(-2,0)$， $B$， $C$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\frac{8}{3}(a<0)$与 $x$轴的另一个交点为 $D$，其顶点为 $M$，对称轴与 $x$轴交于点 $E$．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知 $R$是抛物线上的点，使得 $\mathit{\Delta ADR}$的面积是 $▱\mathit{OABC}$的面积的 $\frac{3}{4}$，求点 $R$的坐标；

（3）已知 $P$是抛物线对称轴上的点，满足在直线 $\mathit{MD}$上存在唯一的点 $Q$，使得 $\angle \mathit{PQE}=45°$，求点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，直线 $l$与抛物线 $y=m{x}^2+\mathit{nx}$相交于 $A(1$， $3\sqrt{3})$， $B(4,0)$两点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta ABD}$是以线段 $\mathit{AB}$为斜边的直角三角形？若存在，求出点 $D$的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上一动点，（点 $P$不与点 $A$、 $B$重合），过点 $P$作 $\mathit{PM}//\mathit{OA}$，交第一象限内的抛物线于点 $M$，过点 $M$作 $\mathit{MC}\perp x$轴于点 $C$，交 $\mathit{AB}$于点 $N$，若 $\mathit{\Delta BCN}$、 $\mathit{\Delta PMN}$的面积 $S_{\mathit{\Delta BCN}}$、 $S_{\mathit{\Delta PMN}}$满足 $S_{\mathit{\Delta BCN}}=2S_{\mathit{\Delta PMN}}$，求出 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{NC}}$的值，并求出此时点 $M$的坐标．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 经过点 $A(1,0)$ 和点 $B(5,0)$ ．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线 $y=\frac{3}{5}x+3$ 相交于 $C$ 、 $D$ 两点，点 $P$ 是抛物线上的动点且位于 $x$ 轴下方，直线 $\mathit{PM}//y$ 轴，分别与 $x$ 轴和直线 $\mathit{CD}$ 交于点 $M$ 、 $N$ ．

①连接 $\mathit{PC}$ 、 $\mathit{PD}$ ，如图1，在点 $P$ 运动过程中， $\mathit{\Delta PCD}$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；

②连接 $\mathit{PB}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CQ}\perp \mathit{PM}$ ，垂足为点 $Q$ ，如图2，是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{\Delta CNQ}$ 与 $\mathit{\Delta PBM}$ 相似？若存在，求出满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2x+1(a\ne 0)$ 的对称轴为直线 $x=1$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）若点 $M(x_1$ ， $y_1)$ ， $N(x_2$ ， $y_2)$ 都在此抛物线上，且 $-1<x_1<0$ ， $1<x_2<2$ ．比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小，并说明理由；

（3）设直线 $y=m(m>0)$ 与抛物线 $y=a{x}^2-2x+1$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，与抛物线 $y=3{(x-1)}^2$ 交于点 $C$ ， $D$ ，求线段 $\mathit{AB}$ 与线段 $\mathit{CD}$ 的长度之比．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$ 的图象经过点 $A(-4,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{BP}$ 、 $\mathit{AC}$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ，当 $\angle \mathit{DPB}=2\angle \mathit{BCO}$ 时，求直线 $\mathit{BP}$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QB}}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 经过点 $(1,1)$ 和 $(4,1)$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的对称轴．

（2）当 $a=-1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_1$ ．

①求抛物线 $C_1$ 的解析式．

②设抛物线 $C_1$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_1$ 上一动点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

如图1，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，已知点 $B$坐标为 $(3,0)$，点 $C$坐标为 $(0,3)$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一个动点，当 $\mathit{\Delta PBC}$的面积最大时，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $M$为该抛物线的顶点，直线 $\mathit{MD}\perp x$轴于点 $D$，在直线 $\mathit{MD}$上是否存在点 $N$，使点 $N$到直线 $\mathit{MC}$的距离等于点 $N$到点 $A$的距离？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，已知一次函数 $y=x+3$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$过 $A$、 $B$两点，且与 $x$轴交于另一点 $C$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）如图1，点 $D$为 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上，且 $\mathit{BE}=2\mathit{ED}$，连接 $\mathit{CE}$并延长交抛物线于点 $M$，求点 $M$的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $15°$后交 $y$轴于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$，如图2， $P$为 $\mathit{\Delta ACG}$内一点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PG}$，分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{AG}$为边，在他们的左侧作等边 $\mathit{\Delta APR}$，等边 $\mathit{\Delta AGQ}$，连接 $\mathit{QR}$

①求证： $\mathit{PG}=\mathit{RQ}$；

②求 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$的最小值，并求出当 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$取得最小值时点 $P$的坐标．