初中数学试题

如图①，二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+4$的图象与直线 $l$交于 $A(-1,2)$、 $B(3,n)$两点．点 $P$是 $x$轴上的一个动点，过点 $P$作 $x$轴的垂线交直线1于点 $M$，交该二次函数的图象于点 $N$，设点 $P$的横坐标为 $m$．

（1） $b=$　　， $n=$　　；

（2）若点 $N$在点 $M$的上方，且 $\mathit{MN}=3$，求 $m$的值；

（3）将直线 $\mathit{AB}$向上平移4个单位长度，分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $C$、 $D$（如图② $)$．

①记 $\mathit{\Delta NBC}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta NAC}$的面积为 $S_2$，是否存在 $m$，使得点 $N$在直线 $\mathit{AC}$的上方，且满足 $S_1-S_2=6$？若存在，求出 $m$及相应的 $S_1$， $S_2$的值；若不存在，请说明理由．

②当 $m>-1$时，将线段 $\mathit{MA}$绕点 $M$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{MF}$，连接 $\mathit{FB}$、 $\mathit{FC}$、 $\mathit{OA}$．若 $\angle \mathit{FBA}+\angle \mathit{AOD}-\angle \mathit{BFC}=45°$，直接写出直线 $\mathit{OF}$与该二次函数图象交点的横坐标．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+3$的图象与 $y$轴交于点 $A$，过点 $A$作 $x$轴的平行线交抛物线于另一点 $B$，抛物线过点 $C(1,0)$，且顶点为 $D$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）填空： $b=$　 　；

（2）点 $P$是抛物线上一点，点 $P$的横坐标大于1，直线 $\mathit{PC}$交直线 $\mathit{BD}$于点 $Q$．若 $\angle \mathit{CQD}=\angle \mathit{ACB}$，求点 $P$的坐标；

（3）点 $E$在直线 $\mathit{AC}$上，点 $E$关于直线 $\mathit{BD}$对称的点为 $F$，点 $F$关于直线 $\mathit{BC}$对称的点为 $G$，连接 $\mathit{AG}$．当点 $F$在 $x$轴上时，直接写出 $\mathit{AG}$的长．

如图所示，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$的图象（记为抛物线 $\Gamma )$与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴分别交于点 $A$、 $B$，点 $A$、 $B$的横坐标分别记为 $x_1$， $x_2$，且 $0<x_1<x_2$．

（1）若 $a=c$， $b=-3$，且过点 $(1,-1)$，求该二次函数的表达式；

（2）若关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$的判别式△ $=4$．求证：当 $b<-\frac{5}{2}$时，二次函数 $y_1=a{x}^2+(b+1)x+c$的图象与 $x$轴没有交点．

（3）若 $A{B}^2=\frac{c^2-2c+6}{c}$，点 $P$的坐标为 $(-\sqrt{x_0}$， $-1)$，过点 $P$作直线 $l$垂直于 $y$轴，且抛物线的 $\Gamma$的顶点在直线 $l$上，连接 $\mathit{OP}$、 $\mathit{AP}$、 $\mathit{BP}$， $\mathit{PA}$的延长线与抛物线 $\Gamma$交于点 $D$，若 $\angle \mathit{OPB}=\angle \mathit{DAB}$，求 $x_0$的最小值．

如图，半径为4的 $\odot O$中，弦 $\mathit{AB}$的长度为 $4\sqrt{3}$，点 $C$是劣弧 $\widehat{\mathit{AB}}$上的一个动点，点 $D$是弦 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$是弦 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{DE}$、 $\mathit{OD}$、 $\mathit{OE}$．

（1）求 $\angle \mathit{AOB}$的度数；

（2）当点 $C$沿着劣弧 $\widehat{\mathit{AB}}$从点 $A$开始，逆时针运动到点 $B$时，求 $\mathit{\Delta ODE}$的外心 $P$所经过的路径的长度；

（3）分别记 $\mathit{\Delta ODE}$， $\mathit{\Delta CDE}$的面积为 $S_1$， $S_2$，当 $S_1^2-S_2^2=21$时，求弦 $\mathit{AC}$的长度．

如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $F_1:y=a{(x-\frac{2}{5})}^2+\frac{64}{15}$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-\frac{6}{5}$ ， $0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线 $F_1$ 的表达式；

（2）如图2，将抛物线 $F_1$ 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线 $F_2$ ，若抛物线 $F_1$ 与抛物线 $F_2$ 相交于点 $D$ ，连接 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BC}$ ．

①求点 $D$ 的坐标；

②判断 $\mathit{\Delta BCD}$ 的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，抛物线 $F_2$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{\Delta BDP}$ 为等腰直角三角形，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 $6\mathit{cm}$ ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．

如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成 $45°$ 的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 $\mathit{ABCD}$ 时，求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形．

（3）设平移的距离为 $\mathit{xcm}(0<x⩽6+6\sqrt{2})$ ，两张纸条重叠部分的面积为 $\mathit{sc}{m}^2$ ．求 $s$ 与 $x$ 的函数关系式，并求 $s$ 的最大值．

定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为"直角等邻对补"四边形，简称"直等补"四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{CD}$ 上的点，将 $\mathit{\Delta BCE}$ 绕 $B$ 点旋转，使 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{BA}$ 重合，此时点 $E$ 的对应点 $F$ 在 $\mathit{DA}$ 的延长线上，则四边形 $\mathit{BEDF}$ 为"直等补"四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是"直等补"四边形， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=1$ ， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$ ，点 $B$ 到直线 $\mathit{AD}$ 的距离为 $\mathit{BE}$ ．

①求 $\mathit{BE}$ 的长；

②若 $M$ 、 $N$ 分别是 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AD}$ 边上的动点，求 $\mathit{\Delta MNC}$ 周长的最小值．

已知直线 $y=\mathit{kx}-2$ 与抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$ ， $c$ 为常数， $b>0)$ 的一个交点为 $A(-1,0)$ ，点 $M(m,0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的动点．

（1）当直线 $y=\mathit{kx}-2$ 与抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$ ， $c$ 为常数， $b>0)$ 的另一个交点为该抛物线的顶点 $E$ 时，求 $k$ ， $b$ ， $c$ 的值及抛物线顶点 $E$ 的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$ ，若点 $Q$ 在抛物线上，且点 $Q$ 的横坐标为 $b$ ，当 $S_{\mathit{\Delta EQM}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACE}}$ 时，求 $m$ 的值；

（3）点 $D$ 在抛物线上，且点 $D$ 的横坐标为 $b+\frac{1}{2}$ ，当 $\sqrt{2}\mathit{AM}+2\mathit{DM}$ 的最小值为 $\frac{27\sqrt{2}}{4}$ 时，求 $b$ 的值．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+5$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）若过点 $C$ 的直线 $x=2$ 是抛物线的对称轴．

①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点 $P$ ，使点 $B$ 关于直线 $\mathit{OP}$ 的对称点 $B^{\text{'}}$ 恰好落在对称轴上．若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）当 $b⩾4$ ， $0⩽x⩽2$ 时，函数值 $y$ 的最大值满足 $3⩽y⩽15$ ，求 $b$ 的取值范围．

如图所示，抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $\mathit{BN}$ 、 $\mathit{CN}$ ，求 $\mathit{\Delta BCN}$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $\mathit{CM}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $\mathit{EM}$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 的底边 $\mathit{BC}$ 在 $x$ 轴上， $\mathit{BC}=8$ ，顶点 $A$ 在 $y$ 的正半轴上， $\mathit{OA}=2$ ，一动点 $E$ 从 $(3,0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达 $\mathit{OB}$ 的中点停止．另一动点 $F$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达点 $O$ 停止．已知点 $E$ 、 $F$ 同时出发，以 $\mathit{EF}$ 为边作正方形 $\mathit{EFGH}$ ，使正方形 $\mathit{EFGH}$ 和 $\mathit{\Delta ABC}$ 在 $\mathit{BC}$ 的同侧，设运动的时间为 $t$ 秒 $(t⩾0)$ ．

（1）当点 $H$ 落在 $\mathit{AC}$ 边上时，求 $t$ 的值；

（2）设正方形 $\mathit{EFGH}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 重叠面积为 $S$ ，请问是否存在 $t$ 值，使得 $S=\frac{91}{36}$ ？若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $\mathit{AC}$ 的中点 $D$ ，连结 $\mathit{OD}$ ，当点 $E$ 、 $F$ 开始运动时，点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2\sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $\mathit{OD}-\mathit{DC}-\mathit{CD}-\mathit{DO}$ 运动，到达点 $O$ 停止运动．请问在点 $E$ 的整个运动过程中，点 $M$ 可能在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点 $M$ 在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知直线 $y=\mathit{kx}+n$ 过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线和直线 $\mathit{BC}$ 的表达式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一个动点．

①如图1，若点 $P$ 在第一象限内，连接 $\mathit{PA}$ ，交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ．设 $\mathit{\Delta PDC}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ADC}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $F$ ．点 $Q$ 是对称轴 $l$ 上的一个动点，是否存在以点 $E$ ， $F$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $P$ ， $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知 $D$ 是 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 斜边 $\mathit{AB}$ 的中点， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=30°$ ，过点 $D$ 作 $\text{Rt}\Delta \text{DEF}$ 使 $\angle \mathit{DEF}=90°$ ， $\angle \mathit{DFE}=30°$ ，连接 $\mathit{CE}$ 并延长 $\mathit{CE}$ 到 $P$ ，使 $\mathit{EP}=\mathit{CE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{FP}$ ， $\mathit{BP}$ ，设 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{DE}$ 交于 $M$ ， $\mathit{PB}$ 与 $\mathit{EF}$ 交于 $N$ ．

（1）如图1，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 共线时，求证：

① $\mathit{EB}=\mathit{EP}$ ；

② $\angle \mathit{EFP}=30°$ ；

（2）如图2，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 不共线时，连接 $\mathit{BF}$ ，求证： $\angle \mathit{BFD}+\angle \mathit{EFP}=30°$ ．

已知函数 $y_1=x+2m-1$ ， $y_2=(2m+1)x+1$ 均为一次函数， $m$ 为常数．

（1）如图1，将直线 $\mathit{AO}$ 绕点 $A(-1,0)$ 逆时针旋转 $45°$ 得到直线 $l$ ，直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $B$ ．若直线 $l$ 恰好是 $y_1=x+2m-1$ ， $y_2=(2m+1)x+1$ 中某个函数的图象，请直接写出点 $B$ 坐标以及 $m$ 可能的值；

（2）若存在实数 $b$ ，使得 $\left|m\right|-(b-1)\sqrt{1-b}=0$ 成立，求函数 $y_1=x+2m-1$ ， $y_2=(2m+1)x+1$ 图象间的距离；

（3）当 $m>1$ 时，函数 $y_1=x+2m-1$ 图象分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于 $C$ ， $E$ 两点， $y_2=(2m+1)x+1$ 图象交 $x$ 轴于 $D$ 点，将函数 $y=y_1·y_2$ 的图象最低点 $F$ 向上平移 $\frac{56}{2m+1}$ 个单位后刚好落在一次函数 $y_1=x+2m-1$ 图象上．设 $y=y_1·y_2$ 的图象，线段 $\mathit{OD}$ ，线段 $\mathit{OE}$ 围成的图形面积为 $S$ ，试利用初中知识，探究 $S$ 的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到 $S$ 的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01． $)$

在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+4\mathit{ax}+4a-6(a>0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）当 $a=6$ 时，直接写出点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的坐标：

$A$　　， $B$　　， $C$　　， $D$　　；

（2）如图1，直线 $\mathit{DC}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若 $\tan \angle \mathit{AED}=\frac{4}{3}$ ，求 $a$ 的值和 $\mathit{CE}$ 的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，若点 $N$ 为 $\mathit{OC}$ 的中点，动点 $P$ 在第三象限的抛物线上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $Q$ ，交 $\mathit{AN}$ 于点 $F$ ；过点 $F$ 作 $\mathit{FH}\perp \mathit{DE}$ ，垂足为 $H$ ．设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，记 $f=\mathit{FP}+\mathit{FH}$ ．

①用含 $t$ 的代数式表示 $f$ ；

②设 $-5<t⩽m(m<0)$ ，求 $f$ 的最大值．