如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $F_1:y=a{(x-\frac{2}{5})}^2+\frac{64}{15}$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-\frac{6}{5}$ ， $0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线 $F_1$ 的表达式；

（2）如图2，将抛物线 $F_1$ 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线 $F_2$ ，若抛物线 $F_1$ 与抛物线 $F_2$ 相交于点 $D$ ，连接 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BC}$ ．

①求点 $D$ 的坐标；

②判断 $\mathit{\Delta BCD}$ 的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，抛物线 $F_2$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{\Delta BDP}$ 为等腰直角三角形，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．