如图，半径为4的$\odot O$中，弦$\mathit{AB}$的长度为$4\sqrt{3}$，点$C$是劣弧$\widehat{\mathit{AB}}$上的一个动点，点$D$是弦$\mathit{AC}$的中点，点$E$是弦$\mathit{BC}$的中点，连接$\mathit{DE}$、$\mathit{OD}$、$\mathit{OE}$．

（1）求$\angle \mathit{AOB}$的度数；

（2）当点$C$沿着劣弧$\widehat{\mathit{AB}}$从点$A$开始，逆时针运动到点$B$时，求$\mathit{\Delta ODE}$的外心$P$所经过的路径的长度；

（3）分别记$\mathit{\Delta ODE}$，$\mathit{\Delta CDE}$的面积为$S_1$，$S_2$，当$S_1^2-S_2^2=21$时，求弦$\mathit{AC}$的长度．