初中数学试题

如图1，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{(x+2)}^2+6$与抛物线 $y_1=-x^2+\frac{1}{2}\mathit{tx}+t-2$相交 $y$轴于点 $C$，抛物线 $y_1$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $B$在点 $A$的右侧），直线 $y_2=\mathit{kx}+3$交 $x$轴负半轴于点 $N$，交 $y$轴于点 $M$，且 $\mathit{OC}=\mathit{ON}$．

（1）求抛物线 $y_1$的解析式与 $k$的值；

（2）抛物线 $y_1$的对称轴交 $x$轴于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$，在 $x$轴上方的对称轴上找一点 $E$，使以点 $A$， $D$， $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，求出 $\mathit{DE}$的长；

（3）如图2，过抛物线 $y_1$上的动点 $G$作 $\mathit{GH}\perp x$轴于点 $H$，交直线 $y_2=\mathit{kx}+3$于点 $Q$，若点 $Q^{\text{'}}$是点 $Q$关于直线 $\mathit{MG}$的对称点，是否存在点 $G$（不与点 $C$重合），使点 $Q^{\text{'}}$落在 $y$轴上？若存在，请直接写出点 $G$的横坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$长是 $x^2-3x-18=0$的根，连接 $\mathit{BD}$， $\angle \mathit{DBC}=30°$，并过点 $C$作 $\mathit{CN}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $N$，动点 $P$从 $B$点以每秒2个单位长度的速度沿 $\mathit{BD}$方向匀速运动到 $D$点为止；点 $M$沿线段 $\mathit{DA}$以每秒 $\sqrt{3}$个单位长度的速度由点 $D$向点 $A$匀速运动，到点 $A$为止，点 $P$与点 $M$同时出发，设运动时间为 $t$秒 $(t>0)$．

（1）线段 $\mathit{CN}=$　 $3\sqrt{3}$　；

（2）连接 $\mathit{PM}$和 $\mathit{MN}$，求 $\mathit{\Delta PMN}$的面积 $s$与运动时间 $t$的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，当 $\mathit{\Delta PMN}$是以 $\mathit{PN}$为腰的等腰三角形时，直接写出点 $P$的坐标．

如图，已知直线 $\mathit{AB}$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-7x-18=0$的一个根， $\mathit{OB}=\frac{1}{2}\mathit{OA}$．请答案下列问题：

（1）求点 $A$， $B$的坐标；

（2）直线 $\mathit{EF}$交 $x$轴负半轴于点 $E$，交 $y$轴正半轴于点 $F$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $C$．若 $C$是 $\mathit{EF}$的中点， $\mathit{OE}=6$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$图象的一支经过点 $C$，求 $k$的值；

（3）在（2）的条件下，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp \mathit{OE}$，垂足为 $D$，点 $M$在直线 $\mathit{AB}$上，点 $N$在直线 $\mathit{CD}$上．坐标平面内是否存在点 $P$，使以 $D$， $M$， $N$， $P$为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点 $P$的个数，并直接写出其中两个点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}$在 $y$轴上． $O$为坐标原点， $\mathit{AB}//\mathit{OC}$，线段 $\mathit{OA}$， $\mathit{AB}$的长分别是方程 $x^2-9x+20=0$的两个根 $(\mathit{OA}<\mathit{AB})$， $\tan \angle \mathit{OCB}=\frac{4}{3}$．

（1）求点 $B$， $C$的坐标；

（2） $P$为 $\mathit{OA}$上一点， $Q$为 $\mathit{OC}$上一点， $\mathit{OQ}=5$，将 $\mathit{\Delta POQ}$翻折，使点 $O$落在 $\mathit{AB}$上的点 $O\text{'}$处，双曲线 $y=\frac{k}{x}$的一个分支过点 $O\text{'}$．求 $k$的值；

（3）在（2）的条件下， $M$为坐标轴上一点，在平面内是否存在点 $N$，使以 $O\text{'}$， $Q$， $M$， $N$为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+12$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点 $(B$在 $A$的右侧），且经过点 $C(-1,7)$和点 $D(5,7)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）连接 $\mathit{AD}$，经过点 $B$的直线 $l$与线段 $\mathit{AD}$交于点 $E$，与抛物线交于另一点 $F$．连接 $\mathit{CA}$， $\mathit{CE}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{\Delta CED}$的面积与 $\mathit{\Delta CAD}$的面积之比为 $1:7$，点 $P$为直线 $l$上方抛物线上的一个动点，设点 $P$的横坐标为 $t$．当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PFB}$的面积最大？并求出最大值；

（3）在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+12$上，当 $m⩽x⩽n$时， $y$的取值范围是 $12⩽y⩽16$，求 $m-n$的取值范围．（直接写出结果即可）

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+6(a\ne 0)$交 $x$轴于点 $A(6,0)$和点 $B(-1,0)$，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）如图（1），点 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的动点，过点 $P$分别作 $x$轴、 $y$轴的平行线，交直线 $\mathit{AC}$于点 $D$， $E$，当 $\mathit{PD}+\mathit{PE}$取最大值时，求点 $P$的坐标；

（3）如图（2），点 $M$为抛物线对称轴 $l$上一点，点 $N$为抛物线上一点，当直线 $\mathit{AC}$垂直平分 $\mathit{\Delta AMN}$的边 $\mathit{MN}$时，求点 $N$的坐标．

如图，已知抛物线： $y_1=-x^2-2x+3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点 $(A$在 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）直接写出点 $A$， $B$， $C$的坐标；

（2）将抛物线 $y_1$经过向右与向下平移，使得到的抛物线 $y_2$与 $x$轴交于 $B$， $B^{\text{'}}$两点 $(B^{\text{'}}$在 $B$的右侧），顶点 $D$的对应点为点 $D^{\text{'}}$，若 $\angle B{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=90°$，求点 $B^{\text{'}}$的坐标及抛物线 $y_2$的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点 $Q$在 $x$轴上，则在抛物线 $y_1$或 $y_2$上是否存在点 $P$，使以 $B\text{'}$， $C$， $Q$， $P$为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $l_1:y=x+1$与直线 $l_2:x=-2$相交于点 $D$，点 $A$是直线 $l_2$上的动点，过点 $A$作 $\mathit{AB}\perp l_1$于点 $B$，点 $C$的坐标为 $(0,3)$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．设点 $A$的纵坐标为 $t$， $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $s$．

（1）当 $t=2$时，请直接写出点 $B$的坐标；

（2） $s$关于 $t$的函数解析式为 $s=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}{t}^2+\mathit{bt}-\frac{5}{4},t〈-1或t〉5\\ a\left(t+1\right)\left(t-5\right),-1<t<5\end{array}\right.$，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出 $a$与 $b$的值；

（3）在 $l_2$上是否存在点 $A$，使得 $\mathit{\Delta ABC}$是直角三角形？若存在，请求出此时点 $A$的坐标和 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线与 $x$轴交于 $(p,0)$， $(q,0)$，则该抛物线的解析式可以表示为：

$y=a(x-p)(x-q)=a{x}^2-a(p+q)x+\mathit{apq}$．

（1）若 $a=1$，抛物线与 $x$轴交于 $(1,0)$， $(5,0)$，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若 $a=-1$，如图（1）， $A(-1,0)$， $B(3,0)$，点 $M(m,0)$在线段 $\mathit{AB}$上，抛物线 $C_1$与 $x$轴交于 $A$， $M$，顶点为 $C$；抛物线 $C_2$与 $x$轴交于 $B$， $M$，顶点为 $D$．当 $A$， $C$， $D$三点在同一条直线上时，求 $m$的值；

（3）已知抛物线 $C_3$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$，线段 $\mathit{EF}$的端点 $E(0,3)$， $F(4,3)$．若抛物线 $C_3$与线段 $\mathit{EF}$有公共点，结合图象，在图（2）中探究 $a$的取值范围．

如图，已知抛物线 $y=a(x+6)(x-2)$过点 $C(0,2)$，交 $x$轴于点 $A$和点 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），抛物线的顶点为 $D$，对称轴 $\mathit{DE}$交 $x$轴于点 $E$，连接 $\mathit{EC}$．

（1）直接写出 $a$的值，点 $A$的坐标和抛物线对称轴的表达式；

（2）若点 $M$是抛物线对称轴 $\mathit{DE}$上的点，当 $\mathit{\Delta MCE}$是等腰三角形时，求点 $M$的坐标；

（3）点 $P$是抛物线上的动点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$，将 $\mathit{\Delta PCE}$沿 $\mathit{CE}$所在的直线对折，点 $P$落在坐标平面内的点 $P\text{'}$处．求当点 $P\text{'}$恰好落在直线 $\mathit{AD}$上时点 $P$的横坐标．

如图所示，拋物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且点 $A$的坐标为 $A(-2,0)$，点 $C$的坐标为 $C(0,6)$，对称轴为直线 $x=1$．点 $D$是抛物线上一个动点，设点 $D$的横坐标为 $m(1<m<4)$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{DC}$， $\mathit{DB}$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当 $\mathit{\Delta BCD}$的面积等于 $\mathit{\Delta AOC}$的面积的 $\frac{3}{4}$时，求 $m$的值；

（3）在（2）的条件下，若点 $M$是 $x$轴上一动点，点 $N$是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 $M$，使得以点 $B$， $D$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$交 $x$轴于 $A$， $B$两点，交 $y$轴于点 $C$，且 $\mathit{OA}=2\mathit{OC}=8\mathit{OB}$．点 $P$是第三象限内抛物线上的一动点．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若 $\mathit{PC}//\mathit{AB}$，求点 $P$的坐标；

（3）连接 $\mathit{AC}$，求 $\mathit{\Delta PAC}$面积的最大值及此时点 $P$的坐标．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴的交点 $A(-3,0)$ 和 $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{DC}$ ， $\mathit{CB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBC}$ 沿 $x$ 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△ $O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ ，点 $O$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为点 $O^{\text{'}}$ 、 $B^{\text{'}}$ 、 $C^{\text{'}}$ ，设平移时间为 $t$ 秒，当点 $O^{\text{'}}$ 与点 $A$ 重合时停止移动．记△ $O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ 与四边形 $\mathit{AOCD}$ 重合部分的面积为 $S$ ，请直接写出 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（3）如图2，过该抛物线上任意一点 $M(m,n)$ 向直线 $l:y=\frac{9}{2}$ 作垂线，垂足为 $E$ ，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点 $F$ ，使得 $\mathit{ME}-\mathit{MF}=\frac{1}{4}$ ？若存在，请求出 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，抛物线 $G:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(0<a<12)$ 过点 $A(1,c-5a)$ ， $B(x_1$ ， $3)$ ， $C(x_2$ ， $3)$ ．顶点 $D$ 不在第一象限，线段 $\mathit{BC}$ 上有一点 $E$ ，设 $\mathit{\Delta OBE}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta OCE}$ 的面积为 $S_2$ ， $S_1=S_2+\frac{3}{2}$ ．

（1）用含 $a$ 的式子表示 $b$ ；

（2）求点 $E$ 的坐标：

（3）若直线 $\mathit{DE}$ 与抛物线 $G$ 的另一个交点 $F$ 的横坐标为 $\frac{6}{a}+3$ ，求 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 在 $1<x<6$ 时的取值范围（用含 $a$ 的式子表示）．

如图，抛物线 $y=\frac{3+\sqrt{3}}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ ， $B$ 分别位于原点的左、右两侧， $\mathit{BO}=3\mathit{AO}=3$ ，过点 $B$ 的直线与 $y$ 轴正半轴和抛物线的交点分别为 $C$ ， $D$ ， $\mathit{BC}=\sqrt{3}\mathit{CD}$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）求直线 $\mathit{BD}$ 的函数解析式；

（3）点 $P$ 在抛物线的对称轴上且在 $x$ 轴下方，点 $Q$ 在射线 $\mathit{BA}$ 上．当 $\mathit{\Delta ABD}$ 与 $\mathit{\Delta BPQ}$ 相似时，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．