如图，抛物线yx2bx5与x轴交于A，B两点．（1）若过点C

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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挑错有奖

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + 5$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）若过点 $C$ 的直线 $x = 2$ 是抛物线的对称轴．

①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点 $P$ ，使点 $B$ 关于直线 $OP$ 的对称点 $B^{'}$ 恰好落在对称轴上．若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）当 $b ⩾ 4$ ， $0 ⩽ x ⩽ 2$ 时，函数值 $y$ 的最大值满足 $3 ⩽ y ⩽ 15$ ，求 $b$ 的取值范围．

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2020年我国进行了第七次全国人口普查，小星要了解我省城镇及乡村人口变化情况，根据贵州省历次人口普查结果，绘制了如下的统计图表．请利用统计图表提供的信息回答下列问题：

贵州省历次人口普查城镇人口统计表

年份	1953	1961	1982	1990	2000	2010	2020
城镇人口（万人）	110	204	540	635	845	1175	2050
城镇化率	$7 %$	$12 %$	$19 %$	$20 %$	$24 %$	$a$	$53 %$

（1）这七次人口普查乡村人口数的中位数是　　万人；

（2）城镇化率是一个国家或地区城镇人口占其总人口的百分率，是衡量城镇化水平的一个指标．根据统计图表提供的信息，我省2010年的城镇化率 $a$ 是　　（结果精确到 $1 %)$ ；假设未来几年我省城乡总人口数与2020年相同，城镇化率要达到 $60 %$ ，则需从乡村迁入城镇的人口数量是　　万人（结果保留整数）；

（3）根据贵州省历次人口普查统计图表，用一句话描述我省城镇化的趋势．

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（1）有三个不等式 $2 x + 3 < - 1$ ， $- 5 x > 15$ ， $3 (x - 1) > 6$ ，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；

（2）小红在计算 $a (1 + a) - {(a - 1)}^{2}$ 时，解答过程如下：

$a (1 + a) - {(a - 1)}^{2}$

$= a + a^{2} - (a^{2} - 1) \dots \dots$ 第一步

$= a + a^{2} - a^{2} - 1 \dots \dots$ 第二步

$= a - 1 \dots \dots$ 第三步

小红的解答从第　　步开始出错，请写出正确的解答过程．

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已知抛物线： $y = a x^{2} - 3 ax - 4 a (a > 0)$ 与 $x$ 轴交点为 $A$ ， $B (A$ 在 $B$ 的左侧），顶点为 $D$ ．

（1）求点 $A$ ， $B$ 的坐标及抛物线的对称轴；

（2）若直线 $y = - \frac{3}{2} x$ 与抛物线交于点 $M$ ， $N$ ，且 $M$ ， $N$ 关于原点对称，求抛物线的解析式；

（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点 $D'$ 在直线 $l : y = \frac{7}{8}$ 上，设直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $O'$ ，原抛物线上的点 $P$ 平移后的对应点为点 $Q$ ，若 $O' P = O' Q$ ，求点 $P$ ， $Q$ 的坐标．

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如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，已知 $OA = OC$ ， $OB = OD$ ，过点 $O$ 作 $EF ⊥ BD$ ，分别交 $AB$ 、 $DC$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $DE$ ， $BF$ ．

（1）求证：四边形 $DEBF$ 是菱形：

（2）设 $AD / / EF$ ， $AD + AB = 12$ ， $BD = 4 \sqrt{3}$ ，求 $AF$ 的长．

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某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有 $A$ ， $B$ 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾， $A$ 焚烧炉比 $B$ 焚烧炉多发电50度， $A$ ， $B$ 焚烧炉每天共发电55000度．

（1）求焚烧一吨垃圾， $A$ 焚烧炉和 $B$ 焚烧炉各发电多少度？

（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾， $A$ 焚烧炉和 $B$ 焚烧炉的发电量分别增加 $a %$ 和 $2 a %$ ，则 $A$ ， $B$ 焚烧炉每天共发电至少增加 $(5 + a) %$ ，求 $a$ 的最小值．

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