高中数学试题

（本小题满分10分）设且，集合的所有个元素的子集记为．
（1）求集合中所有元素之和；
（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值．

（本小题满分14分）已知函数，且对任意，都有.
（1）求，的关系式；
（2）若存在两个极值点，，且，求出的取值范围并证明；
（3）在（2）的条件下，判断零点的个数，并说明理由．

（本小题满分14分）已知平面上的动点与点连线的斜率为，线段的中点与原点连线的斜率为， ()，动点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：
①以曲线的弦为直径；
②过点；
③直径．求的取值范围．

（本小题满分14分）在直角坐标系中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．
（1）求曲线的方程；
（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值．

已知函数,若方程有四个不同的解,,,,且,则的取值范围是（  ）

A．

B．

C．

D．

（本小题满分15分）已知，是平面上的两个定点，动点满足
．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）已知圆方程为，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（Ⅰ）中的轨迹交于，两
点，为坐标原点，设为的中点，求长度的取值范围．

已知曲线：，将曲线每一点的横坐标缩短为倍，纵坐标缩短为原来的倍，得曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．
（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．

（本小题满分14分）已知函数，（为常数，是自然对数的底数），为的导函数，且．
（1）求的值；
（2）对任意，证明：；
（3）若对所有的≥0，都有成立，求实数的取值范围．

（本小题满分13分）已知椭圆（）的右焦点是抛物线的焦点，过点垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长度为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．请问：在轴
上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．对于下列命题：
①椭圆是黄金椭圆；
②若椭圆是黄金椭圆，则；
③在中，，且点在以为焦点的黄金椭圆上，则的周长为；
④过黄金椭圆的右焦点作垂直于长轴的垂线，交椭圆于两点，则
；
⑤设是黄金椭圆的两个焦点，则椭圆上满足的点不
存在．
其中所有正确命题的序号是___________（把你认为正确命题的序号都填上）．

（本小题满分13分）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）设函数，且在定义域上为单调递增函数，求的取值范围；
（3）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围．

（本小题满分14分）如图，已知椭圆：的离心率为， 、、、是其四个顶点，且四边形的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线与椭圆交于、两点，
（ⅰ）若直线过点，则是否存在直线，使得以为直径的圆经过点？求直线的方程；如果存在求出直线的方程；如果不存在，是说明理由．
（ⅱ）若，且坐标原点在以为直径的圆外，求该直线在轴上的截距的取值范围．

（本小题满分12分）已知数列的前项和，正项等比数列满足：，且．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，其前项和为，证明：．

（本小题满分10分）定义
求（Ⅰ）
（Ⅱ）

（本小题满分14分）已知椭圆（）的离心率为，点在椭圆上，
过椭圆的右焦点的动直线与椭圆相交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
（3）若线段的垂直平分线与轴相交于点．设弦的中点为，试求的取值范围．