高中数学解答题

[选修4-1：几何证明选讲]如图，⊙O中 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

（1）若 $\angle \mathit{PFB}=2\angle \mathit{PCD}$，求 $\angle \mathit{PCD}$的大小；

（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明： $\mathit{OG}\perp \mathit{CD}$．

设函数 $f（x）=\mathit{lnx}﹣x+1$．

（1）讨论 $f（x）$的单调性；

（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜ $\frac{x-1}{\ln x}$ ＜x；

（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x ．

已知抛物线 $C：y^2=2x$ 的焦点为F，平行于x轴的两条直线 $l_1$ ， $l_2$ 分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明 $\mathit{AR}\parallel \mathit{FQ}$ ；

（2）若 $△\mathit{PQF}$ 的面积是 $△\mathit{ABF}$ 的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

如图，四棱锥 $P﹣\mathit{ABCD}$ 中， $PA\mathit{\perp }\mathit{底面}\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{PA}=\mathit{BC}=4$ ，M为线段AD上一点， $\mathit{AM}=2\mathit{MD}$ ，N为PC的中点．

（1）证明 $\mathit{MN}\parallel \mathrm{平面}PAB$；

（2）求四面体 $N﹣\mathit{BCM}$ 的体积．

如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据： $\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}\mathrm{y}\mathrm{i}=9.32$ ， $\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{y}\mathrm{i}=40.17$ ， $\sqrt{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}^2}$ $=0.55$ ， $\sqrt{7}\approx 2.646$ ．

参考公式： $r=\frac{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)}^2\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}^2}}$ ，回归方程 $\stackrel{\wedge }{y}=\stackrel{\wedge }{a}+\stackrel{\wedge }{b}t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$\stackrel{\wedge }{b}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)}^2}$ ， $\stackrel{\wedge }{a}=\stackrel{-}{y}-\stackrel{\wedge }{b}\stackrel{-}{t}$ ．

已知各项都为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$ ， $a_n^2\mathit{﹣（}2a_{n+1}﹣1）a_n﹣2a_{n+1}=0$

（1）求 $a_2\mathit{ }$ ， $a_3$ ；

（2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： $\frac{x^2}{4}+y^2=1$  ，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．

（1）若P在第一象限，且|OP|= $\sqrt{2}$ ，求P的坐标；

（2）设P $\left(\frac{8}{5}，\frac{3}{5}\right)$ ，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若 $\left|MA\right|=\left|MP\right|$ ，直线AQ与Γ交于另一点C，且   $\stackrel{\rightharpoonup }{AQ}=2\stackrel{\to }{AC}$ ， $\stackrel{\to }{PQ}=4\stackrel{\to }{PM}$ ，求直线AQ的方程．

根据预测，某地第n（n∈N ^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 $a_n$ 和 _{$b_n$} （单位：辆），其中  $a_n=\{\begin{array}{c}5n^4+15{，}_{}1\le n\le 3\\ -10n+470{，}_{}n\ge 4\end{array}$ ， $b_n=n+5$ ，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．    

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；    

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量 $S_n=-4{\left(n-46\right)}^2+8800$ （单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

已知函数 $f\left(x\right)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+\frac{1}{2},x\in \left(0,\mathrm{\pi }\right)$  ．    

（1）求 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间；    

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边 $a=\sqrt{19}$ ，角B所对边b=5，若 $f\left(A\right)=0$ ，求△ABC的面积．

如图，直三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱 $A{A}_1$ 的长为5．

（1）求三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的体积；    

（2）设M是BC中点，求直线A ₁M与平面ABC所成角的大小．    

记 $f^{\text{'}}\left(x\right),g^{\text{'}}\left(x\right)$ 分别为函数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的导函数.若存在 $x_0\in R$ ，满足 $f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)$ 且 $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=g^{\text{'}}\left(x_0\right)$ ，则称 $x_0$ 为函数 $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 的一个“S点”.

（1）证明：函数 $f\left(x\right)=x$ 与 $g\left(x\right)=x^2+2x-2$ 不存在“S点”.

（2）若函数 $f\left(x\right)=a{x}^2-1$ 与 $g\left(x\right)=\ln x$ 存在“S点”，求实数 $a$ 的值.   

（3）已知函数 $f\left(x\right)=-x^2+a$ ， $g\left(x\right)=\frac{b{e}^x}{x}$ ，对任意 $a>0$ ，判断是否存在 $b>0$ ，使函数 $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 在区间 $(0,+\infty )$ 内存在“S”点，并说明理由.   

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，椭圆C过点 $(\sqrt{3},\frac{1}{2})$ ，焦点 $F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0)$ ，圆O的直径为 $F_1{F}_2$ .

（1）求椭圆C及圆O的方程；   

（2）设直线 $l$ 与圆O相切于第一象限内的点P.

①若直线 $l$ 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线 $l$ 与椭圆C交于A、B两点.若 $\mathit{\Delta OAB}$ 的面积为 $\frac{2\sqrt{6}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $\mathit{MPN}$ ( $P$ 为此圆弧的中点)和线段 $\mathit{MN}$ 构成,已知圆 $O$ 的半径为40米,点 $P$ 到 $\mathit{MN}$ 的距离为50米,先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 $\mathit{ABCD}$ .大棚Ⅱ内的地块形状为 $\mathit{\Delta CDP}$要求 $\mathit{AB}$ 均在线段 $\mathit{MN}$ 上, $C,D$ 均在圆弧上,设 $\mathit{OC}$ 与 $\mathit{MN}$ 所成的角为 $\theta$

（1）用 $\theta$分别表示矩形 $ABCD$ 和 $\Delta CDP$的面积,并确定 $\sin \theta$ 的取值范围

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4:3$.求当 $\theta$为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

已知 $\alpha ,\beta$ 为锐角， $\tan \alpha =\frac{4}{3}$ ， $\cos (\alpha +\beta )=-\frac{\sqrt{5}}{5}$ 。   

（1）求 $\cos 2\alpha$ 的值。   

（2）求 $\tan (\alpha -\beta )$ 的值。  

在平行四边形 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $A{A}_1=\mathit{AB},A{B}_1\perp B_1{C}_1$

求证：

（1） $\mathit{AB}//$ 平面 $A_1{B}_{1}C$

（2）平面 $\mathit{AB}{B}_1{A}_1\perp$平面 $A_1\mathit{BC}$