高中数学解答题

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\mathit{cos}\theta ，\\ y=\mathit{sin}\theta \end{array}\right.$（ $\theta$为参数），过点 $\left(0\hspace{0.33em}，-\sqrt{2}\right)$且倾斜角为 $\alpha$的直线 $l$与 $\odot O$交于 $A\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}B$两点．

（1）求 $\alpha$的取值范围；

（2）求 $\mathit{AB}$中点 $P$的轨迹的参数方程．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 所在平面与半圆弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 上异于 $C$ ， $D$ 的点．

（1）证明：平面 $\mathit{AMD}\perp$ 平面 $\mathit{BMC}$ ；

（2）在线段 $\mathit{AM}$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{MC}\parallel$ 平面 $\mathit{PBD}$ ？说明理由．

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表：

	超过     $m$	不超过     $m$
第一种生产方式
第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： $K^2=\frac{n{\left(\mathit{ad}-\mathit{bc}\right)}^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}$ ，

如图，在极坐标系 $\mathit{Ox}$ 中， $A(2,0)$ ， $B(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$ ， $C(\sqrt{2},\frac{3\pi }{4})$ ， $D(2,\pi )$ ，弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$ ， $\stackrel{⏜}{\mathit{BC}}$ ， $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 所在圆的圆心分别是 $(1,0)$ ， $(1,\frac{\pi }{2})$ ， $(1,\pi )$ ，曲线 $M_1$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$ ，曲线 $M_2$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{BC}}$ ，曲线 $M_3$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ .

（1）分别写出 $M_1$ ， $M_2$ ， $M_3$ 的极坐标方程；

（2）曲线 $M$ 由 $M_1$ ， $M_2$ ， $M_3$ 构成，若点 $P$ 在 $M$ 上，且 $\left|\mathit{OP}\right|=\sqrt{3}$ ，求 $P$ 的极坐标.

已知曲线 C： y= $\frac{x^2}{2}$ ， D为直线 y= $-\frac{1}{2}$ 上的动点，过 D作 C的两条切线，切点分别为 A， B.

（1）证明：直线 AB过定点：

（2）若以 E(0， $\frac{5}{2}$ )为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB的中点，求四边形 ADBE的面积.

已知函数 $f\left(x\right)=2x^3-a{x}^2+b$ .

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）是否存在 $a,b$ ，使得 $f\left(x\right)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 $-1$ 且最大值为1？若存在，求出 $a,b$ 的所有值；若不存在，说明理由.

图1是由矩形 ADEB，Rt△ ABC和菱形 BFGC组成的一个平面图形，其中 AB=1， BE= BF=2，∠ FBC=60°，将其沿 AB， BC折起使得 BE与 BF重合，连结 DG，如图2.

（1）证明：图2中的 A， C， G， D四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE；

（2）求图2中的二面角 B−CG−A的大小.

$\mathit{\Delta ABC}$的内角的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a\mathit{sin}\frac{A+C}{2}=b\mathit{sin}A$．

（1）求 $B$；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形，且 $c=1$，求 $\mathit{\Delta ABC}$面积的取值范围．

如图，已知点 $F\left(1，0\right)$ 为抛物线 $y^2=2\mathit{px}(p>0)$ 的焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，点 $C$ 在抛物线上，使得 $△\mathit{ABC}$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $\mathit{AC}$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧.记 $△\mathit{AFG},△\mathit{CQG}$ 的面积为 $S_1,S_2$ .

（1）求 $p$ 的值及抛物线的准线方程；

（2）求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$， $a_3=4$， $a_4=S_3$，数列 $\left\{b_n\right\}$满足：对每 $n\in N^{*},S_n+b_n,S_{n+1}+b_n,S_{n+2}+b_n$成等比数列.

（1）求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2）记 $C_n=\sqrt{\frac{a_n}{2b_n}},n\in N^{*},$ 证明： $C_1+C_2+\cdots +C_n<2\sqrt{n},n\in N^{*}.$

如图，已知三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ ，平面 $A{A}_1{C}_{1}C\perp$ 平面 $\mathit{ABC}$ , $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\angle \mathit{BAC}=30°,A_{1}A=A_{1}C=\mathit{AC},E,F$ 分别是 $\mathit{AC},A_1{B}_1$ 的中点.

（1）证明： $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$ ；

（2）求直线 $\mathit{EF}$ 与平面 $A_1\mathit{BC}$ 所成角的余弦值.

设函数 $f\left(x\right)=\text{sin}x,x\in \mathrm{R}$.

（1）已知 $\theta \in [0,2\pi ),$函数 $f(x+\theta )$是偶函数，求 $\theta$的值；

（2）求函数 $y=\left[f\right(x+\frac{\pi }{12}){]}^2+[f(x+\frac{\pi }{4}){]}^2$ 的值域.

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1-t^2}{1+t^2}，\\ y=\frac{4t}{1+t^2}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $2\rho \mathit{cos}\theta +\sqrt{3}\rho \mathit{sin}\theta +11=0$．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．

已知函数 f（ x）=2sin x－ xcos x－ x， f′（ x）为 f（ x）的导数．

（1）证明： f′（ x）在区间（0， π）存在唯一零点；

（2）若 x∈[0，π]时， f（ x）≥ ax，求 a的取值范围．