设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$， $a_3=4$， $a_4=S_3$，数列 $\left\{b_n\right\}$满足：对每 $n\in N^{*},S_n+b_n,S_{n+1}+b_n,S_{n+2}+b_n$成等比数列.

（1）求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2）记 $C_n=\sqrt{\frac{a_n}{2b_n}},n\in N^{*},$ 证明： $C_1+C_2+\cdots +C_n<2\sqrt{n},n\in N^{*}.$