ΔABC的内角的对边分别为a,b,c，已知asin⁡AC2b

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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$ΔABC$ 的内角的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$ ．

（1）求 $B$ ；

（2）若 $ΔABC$ 为锐角三角形，且 $c = 1$ ，求 $ΔABC$ 面积的取值范围．

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B$ =4， $B C$ =3， $A D$ =5， $∠ D A B$ = $∠ A B C$ =90°， $E$ 是 $C D$ 的中点.

（Ⅰ）证明： $C D ⊥$ 平面 $P A E$ ；
（Ⅱ）若直线 $P B$ 与平面 $P A E$ 所成的角和 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角相等，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

题型：未知
难度：未知

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某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	$x$	30	25	$y$	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定 $x$ ， $y$ 的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）

题型：未知
难度：未知

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对于项数为m的有穷数列数集 ${a_{n}}$ ，记 $b_{k} = m a x {a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}}$ （ $k = 1, 2, . . ., m$ ），即 $b_{k}$ 为 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ 中的最大值，并称数列 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（1）若各项均为正整数的数列 ${a_{n}}$ 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的 ${a_{n}}$ ；
（2）设 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的控制数列，满足 $a_{k} + b_{m - k + 1} = C$ （ $C$ 为常数， $k = 1, 2, . . ., m$ ）.求证： $b_{k} = a_{k}$ （ $k = 1, 2, . . ., m$ ）；
（3）设 $m = 100$ ，常数 $a \in (\frac{1}{2}, 1)$ .若 $a_{n} = a n^{2} - (- 1)^{\frac{n (n + 1)}{2}} n$ ， ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的控制数列，求 $(b_{1} - a_{1}) + (b_{2} - a_{2}) + . . . + (b_{100} - a_{100})$ .

题型：未知
难度：未知

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C : 2 x^{2} - y^{2} = 1$ .
（1）设 $F$ 是 $C$ 的左焦点， $M$ 是 $C$ 右支上一点. 若 $|M F| = 2 \sqrt{2}$ ，求过 $M$ 点的坐标；
（2）过 $C$ 的左顶点作 $C$ 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的
面积；
（3）设斜率为 $k (|k| < \sqrt{2})$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点，若 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，
求证： $O P ⊥ O Q$ ；

题型：未知
难度：未知

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海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里 $A$ 处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 $y = \frac{12}{49} x^{2}$ ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 $t$ 小时后，失事船所在位置的横坐标为 $7 t$ .

（1）当 $t = 0.5$ 时，写出失事船所在位置 $P$ 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

题型：未知
难度：未知

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