如图，在平面直角坐标系 $xOy$中， $M,N$分别是椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P,A$两点，其中 $P$在第一象限．过 $P$作 $x$轴的垂线，垂足为 $C$．连接 $AC$，并延长交椭圆于点 $B$．设直线 $PA$的斜率为 $k$．

（Ⅰ）当直线 $PA$平分线段 $MN$时，求 $k$的值；
（Ⅱ）当 $k=2$时，求点 $P$到直线 $AB$的距离；
（Ⅲ）对任意 $k>0$，求证： $PA\perp PB$．