高中数学解答题

某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：

    

（Ⅰ）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

（Ⅱ）由于以上统计数据填下面 $2\times 2$ 列联表，并问是否有99%的把握认为"两个分厂生产的零件的质量有差异"。

附： $x^2=\frac{n(n_{11}{n}_{22}-n_{12}{n}_{21}{)}^2}{n_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}},\frac{p(x^2\ge k)}{k}\frac{0.05\mathit{ }0.01}{3.841\mathit{ }6.635}$

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（Ⅰ）若 $\mathit{CD}=2$ ， $\mathit{平面}\mathit{ABCD}\perp \mathit{平面}\mathit{DCEF}$ ，求直线MN的长；

（Ⅱ）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。

如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 $75^0$， $30^0$，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 $60^0$，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km， $\sqrt{2}\approx$1.414， $\sqrt{6}\approx$2.449）   

等比数列 $\left\{a_n\right\}$的前n 项和为 $s_n$，已知 $S_1$, $S_3$, $S_2$成等差数列

（1）求 $\left\{a_n\right\}$的公比 $q$；

（2）求 $a_1-a_3=3$求 $s_n$      

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2+\mathit{bx}$ ,且 $f\text{'}(-1)=0$                   

(1) 试用含 $a$ 的代数式表示b,并求 $f\left(x\right)$ 的单调区间；

（2）令 $a=-1$ ,设函数 $f\left(x\right)$ 在 $x_1,x_2(x_1<x_2)$ 处取得极值，记点 $M\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ ， $N\left(x_2,f\left(x_2\right)\right)$ ， $P\left(m,f\left(m\right)\right)$ , $x_1<m<x_2$ ,请仔细观察曲线 $f\left(x\right)$ 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（Ⅰ）若对任意的 $m\in \left(x_1,x_2\right)$ ，线段MP与曲线 $f\left(x\right)$ 均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（Ⅱ）若存在点 $Q\left(n,f\left(n\right)\right)$ , $x\le n<m$ ,使得线段 $\mathit{PQ}$ 与曲线 $f\left(x\right)$ 有异于 $P$ 、 $Q$ 的公共点，请直接写出 $m$ 的取值范围（不必给出求解过程）        

已知A,B 分别为曲线C： $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1\left(y\ge 0,a>0\right)$与x轴的左、右两个交点，直线 $l$过点B,且与 $x$轴垂直，S为 $l$上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$的三等分点，试求出点S的坐标；

（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在 $a$,使得O,M,S三点共线？若存在，求出 $a$的值，若不存在，请说明理由。               

如图，某市拟在长为的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 $\mathit{OSM}$ ，该曲线段为函数 $y=A\mathit{sin}\omega x\left(A>0,\omega >0\right)$ ， $x\in \left[0,4\right]$ 的图象，且图象的最高点为 $S\left(3,2\sqrt{3}\right)$ ；赛道的后一部分为折线段 $\mathit{MNP}$ ，为保证参赛运动员的安全，限定 $\angle \mathit{MNP}=120°$

（Ⅰ）求A , $\omega$ 的值和M，P两点间的距离；

（Ⅱ）应如何设计，才能使折线段赛道 $\mathit{MNP}$ 最长？                                          

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是边长为 $1$ 的正方形， $\mathit{MD}\perp \mathit{平面}\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{NB}\perp \mathit{平面}\mathit{ABCD}$ ，且 $\mathit{MD}=\mathit{NB}=1$ ， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点.

（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2）在线段AN上是否存在点S，使得 $\mathit{ES}\perp \mathit{平面}\mathit{AMN}$ ？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由                       

从集合 $\left\{1,2,3,4,5\right\}$的所有非空子集中，等可能地取出一个。

（1）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

（2）记所取出的非空子集的元素个数为 $\xi$，求 $\xi$的分布列和数学期望 $\mathit{E\xi }$

已知二次函数 $y=g\left(x\right)$的导函数的图像与直线 $y=2x$平行，且 $y=g\left(x\right)$在 $x=-1$处取得极小值 $m-1(m\ne 0)$．设 $f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x}$．

（１）若曲线 $y=f\left(x\right)$上的点 $P$到点 $Q(0,2)$的距离的最小值为 $\sqrt{2}$，求 $m$的值；

（２） $k(k\in R)$如何取值时，函数 $y=f\left(x\right)-\mathit{kx}$存在零点，并求出零点．

已知曲线 $C:y=x^2$与直线 $l:x-y+2=0$交于两点 $A(x_A,y_A)$和 $B(x_B,y_B)$，且 $x_A<x_B$．记曲线 $C$在点 $A$和点 $B$之间那一段 $L$与线段 $\mathit{AB}$所围成的平面区域（含边界）为 $D$．设点 $P(s,t)$是 $L$上的任一点，且点 $P$与点 $A$和点 $B$均不重合．

（１）若点 $Q$是线段 $\mathit{AB}$的中点，试求线段 $\mathit{PQ}$的中点 $M$的轨迹方程；

（２）若曲线 $G:x^2-2\mathit{ax}+y^2-4y+a^2+\frac{51}{25}=0$与点 $D$有公共点，试求 $a$的最小值．

如下图，已知正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的棱长为２，点Ｅ是正方形 $\mathit{BC}{C}_1{B}_1$的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 $C_1{D}_1,A{A}_1$的中点．设点 $E_1,G_1$分别是点Ｅ，Ｇ在平面 $\mathit{DC}{C}_1{D}_1$内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形 $\mathit{FGAE}$在平面 $\mathit{DC}{C}_1{D}_1$内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（２）证明：直线 $F{G}_1\perp \mathit{平面}\mathit{FE}{E}_1$；

（３）求异面直线 $E_1{G}_1与\mathit{EA}$所成角的正弦值.

根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

对某城市一年（ 365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间 $[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]$ 进行分组，得到频率分布直方图如下图.

                         

（1）求直方图中 $x$ 的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

（3）求该城市某一周至少有 2天的空气质量为良或轻微污染的概率.

(结果用分数表示．已知 $5^7=78125,2^7=128,\frac{3}{1825}+\frac{2}{365}+\frac{7}{1825}+\frac{3}{1825}+\frac{8}{9125}=\frac{123}{9125},365=73\times 5$ ）

已知向量 $a=(\mathit{sin}\theta ,-2)与b=(1,\mathit{cos}\theta )$互相垂直，其中 $\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$．

（1）求 $\mathit{sin}\theta 和\mathit{cos}\theta$的值；

（2）若 $\mathit{sin}(\theta -\phi )=\frac{\sqrt{10}}{10},0<\phi <\frac{\pi }{2}$，求 $\mathit{cos}\phi$的值．     

已知函数 $f\left(x\right)=x^3+\left(1-a\right)x^2-a\left(a+2\right)x+b(a,b\in R)$.

（Ⅰ）若函数 $f\left(x\right)$的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；

（Ⅱ）若函数 $f\left(x\right)$在区间 $\left(-1,1\right)$上不单调，求a的取值范围.