初中数学试题

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$ ，点 $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点，将 $\mathit{\Delta ABE}$ 沿直线 $\mathit{AE}$ 折叠，点 $B$ 落在 $F$ 处，连接 $\mathit{BF}$ 并延长，与 $\angle \mathit{DAF}$ 的平分线相交于点 $H$ ，与 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{CD}$ 分别相交于点 $G$ ， $M$ ，连接 $\mathit{HC}$ ．

（1）求证： $\mathit{AG}=\mathit{GH}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BE}=1$ ，求点 $D$ 到直线 $\mathit{BH}$ 的距离；

（3）当点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 边上（端点除外）运动时， $\angle \mathit{BHC}$ 的大小是否变化？为什么？

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $A$ ， $C$ 两点坐标分别是 $A(1,0)$ ， $C(0,-2)$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ．

（1）求抛物线的表达式和 $\mathit{AC}$ 所在直线的表达式；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿 $\mathit{BC}$ 所在直线折叠，得到 $\mathit{\Delta DBC}$ ，点 $A$ 的对应点 $D$ 是否落在抛物线的对称轴上，若点 $D$ 在对称轴上，请求出点 $D$ 的坐标；若点 $D$ 不在对称轴上，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $Q$ ，连接 $\mathit{BP}$ ， $\mathit{\Delta BPQ}$ 的面积记为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ABQ}$ 的面积记为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值最大时点 $P$ 的坐标．

如图，直线 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ ，过点 $A$ 的抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴的另一交点为 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D(0,3)$ ，抛物线的对称轴 $l$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{OE}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$ ；

（3） $P$ 为抛物线上的一动点，直线 $\mathit{PO}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使以 $A$ ， $O$ ， $M$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$ 相似？若存在，求点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4$ 交 $x$ 轴于 $A(-1,0)$ 、 $B(4,0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为第四象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{PB}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CQ}//\mathit{BP}$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $\mathit{PQ}$ ，求 $\mathit{\Delta PBQ}$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4$ 向右平移经过点 $(\frac{1}{2}$ ， $0)$ 时，得到新抛物线 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1$ ，点 $E$ 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 $F$ ，使得以 $A$ 、 $P$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考：若点 $P_1(x_1$ ， $y_1)$ 、 $P_2(x_2$ ， $y_2)$ ，则线段 $P_1{P}_2$ 的中点 $P_0$ 的坐标为 $(\frac{x_1+x_2}{2}$ ， $\frac{y_1+y_2}{2})$ ．

已知点 $O$ 是线段 $\mathit{AB}$ 的中点，点 $P$ 是直线 $l$ 上的任意一点，分别过点 $A$ 和点 $B$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为点 $C$ 和点 $D$ ．我们定义垂足与中点之间的距离为"足中距"．

（1） $[$ 猜想验证 $]$ 如图1，当点 $P$ 与点 $O$ 重合时，请你猜想、验证后直接写出"足中距" $\mathit{OC}$ 和 $\mathit{OD}$ 的数量关系是 　　．

（2） $[$ 探究证明 $]$ 如图2，当点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的任意一点时，"足中距" $\mathit{OC}$ 和 $\mathit{OD}$ 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3） $[$ 拓展延伸 $]$ 如图3，①当点 $P$ 是线段 $\mathit{BA}$ 延长线上的任意一点时，"足中距" $\mathit{OC}$ 和 $\mathit{OD}$ 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

②若 $\angle \mathit{COD}=60°$ ，请直接写出线段 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{OC}$ 之间的数量关系．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=x+2$ 与坐标轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $C$ 点的坐标为 $(1,0)$ ，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ， $B$ ， $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象写出不等式 $a{x}^2+(b-1)x+c>2$ 的解集；

（3）点 $P$ 是抛物线上的一动点，过点 $P$ 作直线 $\mathit{AB}$ 的垂线段，垂足为 $Q$ 点．当 $\mathit{PQ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求 $P$ 点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+4x$ 经过坐标原点，与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，点 $M(m,n)$ 是抛物线上一动点．

（1）如图1，当 $m>0$ ， $n>0$ ，且 $n=3m$ 时，

①求点 $M$ 的坐标；

②若点 $B(\frac{15}{4}$ ， $y)$ 在该抛物线上，连接 $\mathit{OM}$ ， $\mathit{BM}$ ， $C$ 是线段 $\mathit{BM}$ 上一动点（点 $C$ 与点 $M$ ， $B$ 不重合），过点 $C$ 作 $\mathit{CD}//\mathit{MO}$ ，交 $x$ 轴于点 $D$ ，线段 $\mathit{OD}$ 与 $\mathit{MC}$ 是否相等？请说明理由；

（2）如图2，该抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $K$ ，点 $E(x,\frac{7}{3})$ 在对称轴上，当 $m>2$ ， $n>0$ ，且直线 $\mathit{EM}$ 交 $x$ 轴的负半轴于点 $F$ 时，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $\mathit{EM}$ 于点 $N$ ， $G$ 为 $y$ 轴上一点，点 $G$ 的坐标为 $(0,\frac{18}{5})$ ，连接 $\mathit{GF}$ ．若 $\mathit{EF}+\mathit{NF}=2\mathit{MF}$ ，求证：射线 $\mathit{FE}$ 平分 $\angle \mathit{AFG}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+4x$经过坐标原点，与 $x$轴正半轴交于点 $A$，点 $M(m,n)$是抛物线上一动点．

（1）如图1，当 $m>0$， $n>0$，且 $n=3m$时，

①求点 $M$的坐标；

②若点 $B(\frac{15}{4}$， $y)$在该抛物线上，连接 $\mathit{OM}$， $\mathit{BM}$， $C$是线段 $\mathit{BM}$上一动点（点 $C$与点 $M$， $B$不重合），过点 $C$作 $\mathit{CD}//\mathit{MO}$，交 $x$轴于点 $D$，线段 $\mathit{OD}$与 $\mathit{MC}$是否相等？请说明理由；

（2）如图2，该抛物线的对称轴交 $x$轴于点 $K$，点 $E(x,\frac{7}{3})$在对称轴上，当 $m>2$， $n>0$，且直线 $\mathit{EM}$交 $x$轴的负半轴于点 $F$时，过点 $A$作 $x$轴的垂线，交直线 $\mathit{EM}$于点 $N$， $G$为 $y$轴上一点，点 $G$的坐标为 $(0,\frac{18}{5})$，连接 $\mathit{GF}$．若 $\mathit{EF}+\mathit{NF}=2\mathit{MF}$，求证：射线 $\mathit{FE}$平分 $\angle \mathit{AFG}$．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 交 $x$ 轴于 $A(3,0)$ ， $B(-1,0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，动点 $P$ 在抛物线的对称轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当以 $P$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的三角形周长最小时，求点 $P$ 的坐标及 $\mathit{\Delta PBC}$ 的周长；

（3）若点 $Q$ 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{kx}+h(a>0)$．

（1）通过配方可以将其化成顶点式为 　　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在 $x$轴 　　（填上方或下方），即 $4\mathit{ah}-k^2$　　0（填大于或小于）时，该抛物线与 $x$轴必有两个交点；

（2）若抛物线上存在两点 $A(x_1$， $y_1)$， $B(x_2$， $y_2)$，分布在 $x$轴的两侧，则抛物线顶点必在 $x$轴下方，请你结合 $A$、 $B$两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设 $x_1<x_2$且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）

（3）根据二次函数（1）（2）结论，求证：当 $a>0$， $(a+c)(a+b+c)<0$时， ${(b-c)}^2>4a(a+b+c)$．

数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=m$ ， $\mathit{BC}=n$ ， $\angle \mathit{BAC}=\alpha (0°<\alpha <180°)$ ，点 $P$ 为平面内不与点 $A$ 、 $C$ 重合的任意一点，连接 $\mathit{CP}$ ，将线段 $\mathit{CP}$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $a$ ，得线段 $\mathit{PD}$ ，连接 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{AP}$ 点 $E$ 、 $F$ 分别为 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 的中点，设直线 $\mathit{AP}$ 与直线 $\mathit{EF}$ 相交所成的较小角为 $\beta$ ，探究 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{AP}}$ 的值和 $\beta$ 的度数与 $m$ 、 $n$ 、 $a$ 的关系．

请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）填空：

【问题发现】

小明研究了 $\alpha =60°$ 时，如图1，求出了 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数分别为 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}=$　　， $\beta =$　　；

小红研究了 $\alpha =90°$ 时，如图2，求出了 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数分别为 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}=$　　， $\beta =$　　；

【类比探究】

他们又共同研究了 $\alpha =120°$ 时，如图3，也求出了 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律： $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}=$　　（用含 $m$ 、 $n$ 的式子表示）； $\beta =$　　（用含 $\alpha$ 的式子表示）．

（2）求出 $\alpha =120°$ 时 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，抛物线 $y=3x^2+\mathit{bx}+c$ 过点 $A(0,-2)$ ， $B(2,0)$ ，点 $C$ 为第二象限抛物线上一点，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，其中 $\mathit{AC}$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，且 $\tan \angle \mathit{OBC}=2$ ．

（1）求点 $C$ 坐标；

（2）点 $P(m,0)$ 为线段 $\mathit{BE}$ 上一动点 $(P$ 不与 $B$ ， $E$ 重合），过点 $P$ 作平行于 $y$ 轴的直线 $l$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边分别交于 $M$ ， $N$ 两点，将 $\mathit{\Delta BMN}$ 沿直线 $\mathit{MN}$ 翻折得到△ $B\text{'}\mathit{MN}$ ，设四边形 $B\text{'}\mathit{NBM}$ 的面积为 $S$ ，在点 $P$ 移动过程中，求 $S$ 与 $m$ 的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若 $S=3S_{\mathit{\Delta ACB}\text{'}}$ ，请写出所有满足条件的 $m$ 值．

如图，抛物线 $y=-\frac{3}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $C(-1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,3)$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ，点 $P$ 是抛物线第一象限上的一动点，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ，交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PD}$ 于点 $P$ ，使 $\mathit{PF}=\frac{1}{2}\mathit{OA}$ ，以 $\mathit{PE}$ ， $\mathit{PF}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEGF}$ ．当矩形 $\mathit{PEGF}$ 的面积是 $\mathit{\Delta BOC}$ 面积的3倍时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，当点 $P$ 运动到抛物线的顶点时，点 $Q$ 在直线 $\mathit{PD}$ 上，若以点 $Q$ 、 $A$ 、 $B$ 为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点 $Q$ 纵坐标 $n$ 的取值范围．

课本再现

（1）在证明"三角形内角和定理"时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与 $\angle A$ 相等的角是 　　；

类比迁移

（2）如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}$ 与 $\angle \mathit{ADC}$ 互余，小明发现四边形 $\mathit{ABCD}$ 中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作 $\angle \mathit{CDF}=\angle \mathit{ABC}$ ，再过点 $C$ 作 $\mathit{CE}\perp \mathit{DF}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{AE}$ ，发现 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{DE}$ ， $\mathit{AE}$ 之间的数量关系是 　　；

方法运用

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，连接 $\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ，点 $O$ 是 $\mathit{\Delta ACD}$ 两边垂直平分线的交点，连接 $\mathit{OA}$ ， $\angle \mathit{OAC}=\angle \mathit{ABC}$ ．

①求证： $\angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{ADC}=90°$ ；

②连接 $\mathit{BD}$ ，如图4，已知 $\mathit{AD}=m$ ， $\mathit{DC}=n$ ， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=2$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的式子表示）．

学习了图形的旋转之后，小明知道，将点 $P$ 绕着某定点 $A$ 顺时针旋转一定的角度 $\alpha$ ，能得到一个新的点 $P\text{'}$ ，经过进一步探究，小明发现，当上述点 $P$ 在某函数图象上运动时，点 $P\text{'}$ 也随之运动，并且点 $P\text{'}$ 的运动轨迹能形成一个新的图形．

试根据下列各题中所给的定点 $A$ 的坐标、角度 $\alpha$ 的大小来解决相关问题．

【初步感知】

如图1，设 $A(1,1)$ ， $\alpha =90°$ ，点 $P$ 是一次函数 $y=\mathit{kx}+b$ 图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点 $P_1(-1,1)$ ．

（1）点 $P_1$ 旋转后，得到的点 $P_1\text{'}$ 的坐标为 　 $(1,3)$　；

（2）若点 $P\text{'}$ 的运动轨迹经过点 $P_2\text{'}(2,1)$ ，求原一次函数的表达式．

【深入感悟】

如图2，设 $A(0,0)$ ， $\alpha =45°$ ，点 $P$ 是反比例函数 $y=-\frac{1}{x}(x<0)$ 的图象上的动点，过点 $P\text{'}$ 作二、四象限角平分线的垂线，垂足为 $M$ ，求 $\mathit{\Delta OMP}\text{'}$ 的面积．

【灵活运用】

如图3，设 $A(1,-\sqrt{3})$ ， $\alpha =60°$ ，点 $P$ 是二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+2\sqrt{3}x+7$ 图象上的动点，已知点 $B(2,0)$ 、 $C(3,0)$ ，试探究 $\mathit{\Delta BCP}\text{'}$ 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．