课本再现（1）在证明三角形内角和定理时，小明只撕下三角形纸片

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度困难
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课本再现

（1）在证明"三角形内角和定理"时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与 $∠ A$ 相等的角是　　；

类比迁移

（2）如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ ABC$ 与 $∠ ADC$ 互余，小明发现四边形 $ABCD$ 中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作 $∠ CDF = ∠ ABC$ ，再过点 $C$ 作 $CE ⊥ DF$ 于点 $E$ ，连接 $AE$ ，发现 $AD$ ， $DE$ ， $AE$ 之间的数量关系是　　；

方法运用

（3）如图3，在四边形 $ABCD$ 中，连接 $AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $O$ 是 $ΔACD$ 两边垂直平分线的交点，连接 $OA$ ， $∠ OAC = ∠ ABC$ ．

①求证： $∠ ABC + ∠ ADC = 90 °$ ；

②连接 $BD$ ，如图4，已知 $AD = m$ ， $DC = n$ ， $\frac{AB}{AC} = 2$ ，求 $BD$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的式子表示）．

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 ax - 3 a (a < 0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，直线 $DC$ 与 $x$ 轴相交于点 $E$ ．

（1）当 $a = - 1$ 时，抛物线顶点 $D$ 的坐标为　　， $OE =$ 　　；

（2） $OE$ 的长是否与 $a$ 值有关，说明你的理由；

（3）设 $∠ DEO = β$ ， $45 ° ⩽ β ⩽ 60 °$ ，求 $a$ 的取值范围；

（4）以 $DE$ 为斜边，在直线 $DE$ 的左下方作等腰直角三角形 $PDE$ ．设 $P (m, n)$ ，直接写出 $n$ 关于 $m$ 的函数解析式及自变量 $m$ 的取值范围．

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如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 2 cm$ ， $∠ ADB = 30 °$ ． $P$ ， $Q$ 两点分别从 $A$ ， $B$ 同时出发，点 $P$ 沿折线 $AB - BC$ 运动，在 $AB$ 上的速度是 $2 cm / s$ ，在 $BC$ 上的速度是 $2 \sqrt{3} cm / s$ ；点 $Q$ 在 $BD$ 上以 $2 cm / s$ 的速度向终点 $D$ 运动，过点 $P$ 作 $PN ⊥ AD$ ，垂足为点 $N$ ．连接 $PQ$ ，以 $PQ$ ， $PN$ 为邻边作 $▱ PQMN$ ．设运动的时间为 $x (s)$ ， $▱ PQMN$ 与矩形 $ABCD$ 重叠部分的图形面积为 $y (c m^{2})$

（1）当 $PQ ⊥ AB$ 时， $x =$ 　　；

（2）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围；

（3）直线 $AM$ 将矩形 $ABCD$ 的面积分成 $1 : 3$ 两部分时，直接写出 $x$ 的值．

题型：未知
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如图①，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，过 $AB$ 上一点 $D$ 作 $DE / / AC$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，以 $E$ 为顶点， $ED$ 为一边，作 $∠ DEF = ∠ A$ ，另一边 $EF$ 交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证：四边形 $ADEF$ 为平行四边形；

（2）当点 $D$ 为 $AB$ 中点时， $▱ ADEF$ 的形状为　　；

（3）延长图①中的 $DE$ 到点 $G$ ，使 $EG = DE$ ，连接 $AE$ ， $AG$ ， $FG$ ，得到图②，若 $AD = AG$ ，判断四边形 $AEGF$ 的形状，并说明理由．

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小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用 $30 \min$ ．小东骑自行车以 $300 m / \min$ 的速度直接回家，两人离家的路程 $y (m)$ 与各自离开出发地的时间 $x (\min)$ 之间的函数图象如图所示

（1）家与图书馆之间的路程为　　 $m$ ，小玲步行的速度为　　 $m / \min$ ；

（2）求小东离家的路程 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）求两人相遇的时间．

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为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为 $400 g$ 奶粉的情况，质检员进行了抽样调查，过程如下，请补全表一、表二中的空白，并回答提出的问题．

收集数据：

从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取10袋，测得实际质量（单位： $g)$ 如下：

甲：400，400，408，406，410，409，400，393，394，395

乙：403，404，396，399，402，402，405，397，402，398

整理数据：

表一

质量 $(g)$

频数

种类

$393 ⩽ x < 396$

$396 ⩽ x < 399$

$399 ⩽ x < 402$

$402 ⩽ x < 405$

$405 ⩽ x < 408$

$408 ⩽ x < 411$

甲

乙

分析数据：

表二

种类	平均数	中位数	众数	方差
甲	401.5		400	36.85
乙	400.8	402		8.56

得出结论：

包装机分装情况比较好的是　　（填甲或乙），说明你的理由．

题型：未知
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