初中数学解答题

位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道 $\mathit{MP}$上架设测角仪，先在点 $M$处测得观星台最高点 $A$的仰角为 $22°$，然后沿 $\mathit{MP}$方向前进 $16m$到达点 $N$处，测得点 $A$的仰角为 $45°$．测角仪的高度为 $1.6m$．

（1）求观星台最高点 $A$距离地面的高度（结果精确到 $0.1m$．参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40$， $\sqrt{2}\approx 1.41)$；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为 $12.6m$．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋 $500g$，与之相差大于 $10g$为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：

$[$收集数据 $]$从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位： $g)$如下：

甲：501    497   498    502    513   489   506   490   505   486

      502    503   498    497    491   500   505   502   504   505

乙：505   499   502    491    487   506   493   505   499   498

      502    503   501    490    501   502   511   499   499    501

$[$整理数据 $]$整理以上数据，得到每袋质量 $x\left(g\right)$的频数分布表．

质量 频数 机器	$485⩽x<490$	$490⩽x<495$	$495⩽x<500$	$500⩽x<505$	$505⩽x<510$	$510⩽x<515$
甲	2	2	4	7	4	1
乙	1	3	5	7	3	1

$[$分析数据 $]$根据以上数据，得到以下统计量．

统计量 机器	平均数	中位数	方差	不合格率
甲	499.7	501.5	42.01	$b$
乙	499.7	$a$	31.81	$10\%$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表格中的 $a=$　　， $b=$　　；

（2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．

先化简，再求值： $(1-\frac{1}{a+1})÷\frac{a}{a^2-1}$，其中 $a=\sqrt{5}+1$．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点，过点 $P$作 $\mathit{AC}$的垂线，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{OP}$．

（1）求证： $\mathit{DP}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=5$， $\sin \angle \mathit{APC}=\frac{5}{13}$，求 $\mathit{AP}$的长．

某超市销售 $A$、 $B$两款保温杯，已知 $B$款保温杯的销售单价比 $A$款保温杯多10元，用480元购买 $B$款保温杯的数量与用360元购买 $A$款保温杯的数量相同．

（1） $A$、 $B$两款保温杯的销售单价各是多少元？

（2）由于需求量大， $A$、 $B$两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且 $A$款保温杯的数量不少于 $B$款保温杯数量的两倍．若 $A$款保温杯的销售单价不变， $B$款保温杯的销售单价降低 $10\%$，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

如图，为测量建筑物 $\mathit{CD}$的高度，在 $A$点测得建筑物顶部 $D$点的仰角为 $22°$，再向建筑物 $\mathit{CD}$前进30米到达 $B$点，测得建筑物顶部 $D$点的仰角为 $58°(A$， $B$， $C$三点在一条直线上），求建筑物 $\mathit{CD}$的高度．（结果保留整数．参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40$， $\sin 58°\approx 0.85$， $\cos 58°\approx 0.53$， $\tan 58°\approx 1.60)$

为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的 $10\%$进行测试，将这些学生的测试成绩 $\left(x\right)$分为四个等级：优秀 $85⩽x⩽100$；良好 $75⩽x<85$；及格 $60⩽x<75$；不及格 $0⩽x<60$，并绘制成如图两幅统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是　     ；

（2）计算所抽取学生测试成绩的平均分；

（3）若不及格学生的人数为2人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $\mathit{DE}//\mathit{BF}$，且分别交对角线 $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{DE}$，求证：四边形 $\mathit{EBFD}$为菱形．

先化简，再求值： ${(x-2)}^2-4x(x-1)+(2x+1)(2x-1)$，其中 $x=-\sqrt{2}$．

计算： ${(-1)}^2+|-\sqrt{2}|+{(\pi -3)}^0-\sqrt{4}$．

将一个直角三角形纸片 $\mathit{OAB}$放置在平面直角坐标系中，点 $O(0,0)$，点 $A(2,0)$，点 $B$在第一象限， $\angle \mathit{OAB}=90°$， $\angle B=30°$，点 $P$在边 $\mathit{OB}$上（点 $P$不与点 $O$， $B$重合）．

（Ⅰ）如图①，当 $\mathit{OP}=1$时，求点 $P$的坐标；

（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 $P$，并与 $x$轴的正半轴相交于点 $Q$，且 $\mathit{OQ}=\mathit{OP}$，点 $O$的对应点为 $O^{\text{'}}$，设 $\mathit{OP}=t$．

①如图②，若折叠后△ $O^{\text{'}}\mathit{PQ}$与 $\mathit{\Delta OAB}$重叠部分为四边形， $O^{\text{'}}P$， $O^{\text{'}}Q$分别与边 $\mathit{AB}$相交于点 $C$， $D$，试用含有 $t$的式子表示 $O^{\text{'}}D$的长，并直接写出 $t$的取值范围；

②若折叠后△ $O^{\text{'}}\mathit{PQ}$与 $\mathit{\Delta OAB}$重叠部分的面积为 $S$，当 $1⩽t⩽3$时，求 $S$的取值范围（直接写出结果即可）．

在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍 $0.7\mathit{km}$，图书馆离宿舍 $1\mathit{km}$．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了 $7\mathit{min}$到食堂；在食堂停留 $16\mathit{min}$吃早餐后，匀速走了 $5\mathit{min}$到图书馆；在图书馆停留 $30\mathit{min}$借书后，匀速走了 $10\mathit{min}$返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离 $\mathit{ykm}$与离开宿舍的时间 $\mathit{xmin}$之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）填表：

离开宿舍的时间 $/\mathit{min}$	2	5	20	23	30
离宿舍的距离 $/\mathit{km}$	0.2	0.5	0.7

（Ⅱ）填空：

①食堂到图书馆的距离为　　 $\mathit{km}$；

②小亮从食堂到图书馆的速度为　　 $\mathit{km}/\mathit{min}$；

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为　　 $\mathit{km}/\mathit{min}$；

④当小亮离宿舍的距离为 $0.6\mathit{km}$时，他离开宿舍的时间为　　 $\mathit{min}$．

（Ⅲ）当 $0⩽x⩽28$时，请直接写出 $y$关于 $x$的函数解析式．

如图， $A$， $B$两点被池塘隔开，在 $\mathit{AB}$外选一点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．测得 $\mathit{BC}=221m$， $\angle \mathit{ACB}=45°$， $\angle \mathit{ABC}=58°$．根据测得的数据，求 $\mathit{AB}$的长（结果取整数）．

参考数据： $\sin 58°\approx 0.85$， $\cos 58°\approx 0.53$， $\tan 58°\approx 1.60$．

在 $\odot O$中，弦 $\mathit{CD}$与直径 $\mathit{AB}$相交于点 $P$， $\angle \mathit{ABC}=63°$．

（Ⅰ）如图①，若 $\angle \mathit{APC}=100°$，求 $\angle \mathit{BAD}$和 $\angle \mathit{CDB}$的大小；

（Ⅱ）如图②，若 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，过点 $D$作 $\odot O$的切线，与 $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $E$，求 $\angle E$的大小．

农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位： $\mathit{cm})$进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为　　，图①中 $m$的值为　　；

（Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．