将一个直角三角形纸片 OAB 放置在平面直角坐标系中,点 O ( 0 , 0 ) ,点 A ( 2 , 0 ) ,点 B 在第一象限, ∠ OAB = 90 ° , ∠ B = 30 ° ,点 P 在边 OB 上(点 P 不与点 O , B 重合).
(Ⅰ)如图①,当 OP = 1 时,求点 P 的坐标;
(Ⅱ)折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点 P ,并与 x 轴的正半轴相交于点 Q ,且 OQ = OP ,点 O 的对应点为 O ' ,设 OP = t .
①如图②,若折叠后△ O ' PQ 与 ΔOAB 重叠部分为四边形, O ' P , O ' Q 分别与边 AB 相交于点 C , D ,试用含有 t 的式子表示 O ' D 的长,并直接写出 t 的取值范围;
②若折叠后△ O ' PQ 与 ΔOAB 重叠部分的面积为 S ,当 1 ⩽ t ⩽ 3 时,求 S 的取值范围(直接写出结果即可).
(12分)如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA、OD到点F、E 使OF=2OA,OE=2OD,连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转角得到△E1OF1(如图2).(1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明;(2)当=30°时,求证:△AOE1为直角三角形.
某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品,若用380元购进A种纪念品7件, B种纪念品8件;也可以用380元购进A种纪念品10件,B种纪念品6件。(1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少?(2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元,每销售1件B种纪念品可获利7元该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件,且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元,问应该怎样进货,才能使总获利最大,最大为多少?
如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC.(1)求证:CA是圆的切线;(2)若点E是BC上一点,已知EC=4,∠ABC=32°,∠AEC=67°,求圆的直径BC的长.(精确到1)
为实施“农村留守儿童关爱计划”,某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计,发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况,并制成如下两幅不完整的统计图:(1)求该校平均每班有多少名留守儿童?并将该条形统计图补充完整;(2)某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中,任选两名进行生活资助,请用列表法或画树状图的方法,求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率.
在的网格纸上建立平面直角坐标系如图所示,在中,,且点的坐标为.(1)画出向左平移3个单位后的,写出点的坐标;(2)画出绕点顺时针旋转后的,并求点旋转到点时,点经过的路线长(结果保留)